題目列表(包括答案和解析)
設(shè)橢圓
（常數(shù)
）的左右焦點(diǎn)分別為
，
是直線
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
．
（1）若
，求
的值；
（2）求
的最小值．
【解析】第一問中解：設(shè)
，
則
由得
由，得
②
第二問易求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)
或
時(shí)，取最小值
．
解：設(shè)， ……………………1分
則，由得 ①……2分
（1）由，得 ② ……………1分
③ ………………………1分
由①、②、③三式，消去
，并求得
．
………………………3分
（2）解法一：易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．………………2分
， ……4分
所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取最小值．…2分
解法二：
，
………………4分
所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取最小值
解：因?yàn)橛胸?fù)根，所以
在y軸左側(cè)有交點(diǎn)，因此
解：因?yàn)楹瘮?shù)沒有零點(diǎn)，所以方程
無根，則函數(shù)y=x+|x-c|與y=2沒有交點(diǎn)，由圖可知c>2
13．證明：（1）令x=y=1,由已知可得f(1)=f(1×1)=f(1)f(1),所以f(1)=1或f(1)=0
若f(1)=0，f(0)=f(1×0)=f(1)f(0)=0，所以f(1)=f(0)與已知條件“
”矛盾所以f(1)≠0，因此f(1)=1,所以f(1)-1=0，1是函數(shù)y=f(x)-1的零點(diǎn)
（2）因?yàn)閒(1)=f[(-1)×（-1）]=f2(-1)=,所以f(-1)=±1，但若f(-1)=1,則f(-1)=f(1)與已知矛盾所以f(-1)不能等于1，只能等于-1。所以任x∈R，f(-x)=f(-1)f(x)=-f(x)，因此函數(shù)是奇函數(shù)
數(shù)字1，2，3，4恰好排成一排，如果數(shù)字i（i=1，2，3，4）恰好出現(xiàn)在第i個(gè)位置上則稱有一個(gè)巧合，求巧合數(shù)
的分布列。
已知函數(shù)
的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)
，曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時(shí)，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時(shí)，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時(shí)，，令得
當(dāng)
變化時(shí)，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時(shí), 
.當(dāng)
時(shí), 
,最大值為0；
當(dāng)
時(shí), 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時(shí)
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
（本小題滿分12分）已知函數(shù)
（I）若函數(shù)
在區(qū)間
上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）當(dāng)
時(shí)，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
（Ⅲ）求證：解：（1）
，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052512313679685506/SYS201205251234077812428021_ST.files/image007.png">，則
令
，
則
，
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
在（0，1）上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值. （3分）
函數(shù)在區(qū)間
上存在極值，
，解得
（4分）
（2）不等式，即
令
（6分）
令
，則
，
，即
在
上單調(diào)遞增， （7分）
，從而
，故
在上單調(diào)遞增， （7分）
（8分）
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，
恒成立，即
，
令
，則
， （9分）
（10分）
以上各式相加得，
即
，
即
（12分）
。
已知函數(shù) 
R)．
（Ⅰ）若 
，求曲線
在點(diǎn) 
處的的切線方程；
（Ⅱ）若 
對(duì)任意 
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問中，利用當(dāng)
時(shí)，
．
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（
），
則
，
所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：
第二問中，由題意得，
即
即可。
Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．
，
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（），
則，
所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：． ……5分
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">，所以
恒成立，
故
在
上單調(diào)遞增，
……12分
要使
恒成立，則
，解得．……15分
解法二：
……7分
（1）當(dāng)
時(shí)，在
上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
即．
……10分
（2）當(dāng)
時(shí)，令
，對(duì)稱軸
，
則
在上單調(diào)遞增，又
① 當(dāng)
，即
時(shí)，
在上恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
即，不合題意，舍去
②當(dāng)
時(shí)，
，
不合題意，舍去 14分
綜上所述：
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單調(diào)遞減