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如右圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度隨時(shí)間變化的圖象可能是（    ）

 

                     

（一）必做題（11～13題）

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（必做題）為調(diào)查長(zhǎng)沙市中學(xué)生平均每人每天參加體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘），按鍛煉時(shí)間分下一列四種情況統(tǒng)計(jì)：①0～10分鐘；②11～20分鐘；③21～30分鐘；④30分鐘以上．有l(wèi)0 000名中學(xué)生參加了此項(xiàng)活動(dòng)，如圖是此次調(diào)查中某一項(xiàng)的流程圖，其輸出的結(jié)果是6 200，則平均每天參加體育鍛煉時(shí)間在0～20分鐘內(nèi)的學(xué)生的頻率是

 

．

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（必做題）先閱讀：如圖，設(shè)梯形ABCD的上、下底邊的長(zhǎng)分別是a，b（a＜b），高為h，求梯形的面積．
方法一：延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作CD的垂線分別交AB、CD于E、F，則EF=h．
設(shè)OE=x，∵△OAB∽△ODC，∴

x

x+h

=

a

b

，即x=

ah

b-a

．
∴S_梯形ABCD=S_△ODC-S_△OAB=

1

2

b（x+h）-

1

2

ax=

1

2

（b-a）x+

1

2

bh=

1

2

（a+b）h．
方法二：作AB的平行線MN分別交AD、BC于MN，過點(diǎn)A作BC的平行線AQ分別于MN、DC于PQ，則△AMP∽△ADQ．
設(shè)梯形AMNB的高為x，MN=y，

x

h

=

y-a

b-a

⇒y=a+

b-a

h

x，∴S梯形ABCD=

∫

h 0

（a+

b-a

h

x）dx=（ax+

b-a

2h

x²）

|

h 0

=ah+

b-a

2h

•h²=

1

2

（a+b）h．
再解下面的問題：
已知四棱臺(tái)ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面積分別是S₁，S₂（S₁＜S₂），棱臺(tái)的高為h，類比以上兩種方法，分別求出棱臺(tái)的體積（棱錐的體積=

1

3

×底面積×高）．

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一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共10小題，每小題5分，

滿分50分．

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

B

C

B

D

A

D

D

C

二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算. 本大題共5小題，每小

題5分，滿分20分．其中14～15題為選做題，考生只能選做一題. 第十二題的第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．

11. ；    12. 1， 2^n-1；          13. 80；   14.；       15.1.

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

某校高三年級(jí)要從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表參加

學(xué)校的演講比賽.

(1)求男生a被選中的概率； (2) 求男生a和女生d至少一人被選中的概率.

解：從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表選法是：

a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；

b，c，e；b，d，e；c，d，e共10種.                    ……4分

(1)男生a被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e，共6種，于是男生a被選中的概率為.  ……8分

(2) 男生a和女生d至少一人被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；b，d，e；c，d，e共9種，

故男生a和女生d至少一人被選中的概率為.           ……12分                            

17.(本小題滿分14分)

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2， cosB=．

(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面積S_△ABC=4，求b，c的值．

解：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，

∴sinB=.                              ……2分

由正弦定理得，                          ……4分

 .                           ……6分

(2) ∵S_△ABC=acsinB=4，                             ……8分

 ∴，  ∴c=5.                      ……10分

由余弦定理得b²=a²+c²－2accosB，

∴.……14分

18.(本小題滿分14分) 如圖4，A₁A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，A₁A= AB=2.

(1)求證: BC⊥平面A₁AC；

(2)求三棱錐A₁-ABC的體積的最大值.

證明:∵C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，

且AB是圓柱底面圓的直徑，

∴BC⊥AC,                  ……2分

∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，

∴AA₁⊥BC，                ……4分

∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，

ACÌ平面AA₁ C，

                            ∴BC⊥平面AA₁C.           ……6分

(2)解法1：設(shè)AC=x，在Rt△ABC中，

(0<x<2) ,                     ……7分

故(0<x<2),

……9分

即. ……11分

∵0<x<2，0<x²<4，∴當(dāng)x²=2，即時(shí)，

三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為.                       ……14分

解法2: 在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²=4，                  ……7分

                ……9分

.               ……11分

當(dāng)且僅當(dāng) AC=BC 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)AC=BC=.

∴三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為.                     ……14分

19. (本小題滿分14分)

設(shè)A(x₁，x₂)、B(x₂，y₂)是拋物線x²=4y上不同的兩點(diǎn)，且該拋物線在點(diǎn)A、B處的兩條切線相交于點(diǎn)C，并且滿足.

(1)求證：x_1?x₂=－4；

(2)判斷拋物線x²=4y的準(zhǔn)線與經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

(1) 證明：由x²=4y得，則，

∴拋物線x²=4y在點(diǎn)A(x₁，x₂)、B(x₂，y₂)處的切線的斜率分別為，

……2分

∵，∴，                            ……4分

∴拋物線x²=4y在點(diǎn)A(x₁，x₂)、B(x₂，y₂)處兩切線互相垂直，

∴，∴x_1?x₂=－4.                             ……6分

(2) 解法1: ∵，∴，

∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)D，

圓心D，                            ……8分

∵拋物線x²=4y的準(zhǔn)線方程為y=－1, ∴點(diǎn)D到直線

y=－1的距離為，                       ……10分

∵經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑，

由于x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，且x_1?x₂=－4，則，

∴

，

即

，                         ……12分

∴d=r，∴拋物線x²=4y準(zhǔn)線與經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓相切.  ……14分

解法2:由(1)知拋物線x²=4y在點(diǎn)A(x₁，x₂)處的切線的斜率為

又x₁²=4y₁，∴切線AC所在直線方程為，

即                              ①      ……8分

同理可得切線BC所在直線方程為  ②

由①，②得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)y_C=－1，即

……10分

∵，∴，

∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)D，

圓心D，

∵拋物線x²=4y的準(zhǔn)線方程為y=－1,

∴點(diǎn)D到直線y=－1的距離為，            ……12分                 

∵經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑r=|CD|=，

∴d=r，∴拋物線x²=4y準(zhǔn)線與經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓相切.  ……14分

20. (本小題滿分12分)

某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)A 型零件和1個(gè)B 型零件配套組成. 每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)A 型零件或者3個(gè)B 型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作(分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整)，每組加工同一中型號(hào)的零件.設(shè)加工A 型零件的工人人數(shù)為x名(x∈N^*)

(1)設(shè)完成A 型零件加工所需時(shí)間為f(x)小時(shí)，寫出f(x)的解析式；

(2)為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取何值？

(本題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解和應(yīng)用意識(shí))

解：(1) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工A型零件450個(gè)，則完成A型零件加工所需時(shí)間(x∈N*，且1≤x≤49).              ……2分   

(2) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工B型零件150個(gè)，則完成B型零件加工所需時(shí)間(x∈N*，且1≤x≤49).            ……4分設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間h(x)小時(shí)，則h(x)為f(x)與 g(x)的較大者，

令f(x)≥g(x)，則，解得，

所以，當(dāng)1≤x≤32時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)33≤x≤492時(shí)，f(x)<g(x).

故                 ……6分

當(dāng)1≤x≤32時(shí)，，故h(x)在[1，32]上單調(diào)遞減，

則h(x)在[1，32]上的最小值為(小時(shí))；       ……8分

當(dāng)33≤x≤49時(shí)，，故h(x)在[33，49]上單調(diào)遞增，

則h(x)在[33，49]上的最小值為(小時(shí))； ……10分

∵h(yuǎn)(33)> h(32)，∴h(x)在[1，49]上的最小值為h(32)， ∴x=32.

答：為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取32.        ……12分

21. (本小題滿分14分)

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，且a₁=1.

(1)求證：數(shù)列{ a_n－×2ⁿ}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，問是否存在常數(shù)λ，使得b_n－λS_n>0對(duì)任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.     

(本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前n項(xiàng)和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和抽象概括能力)

(1)證法1：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                        ……2分

由a_n+a_n+1=2ⁿ，得，故數(shù)列

是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.                 ……4分

證法2：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                        ……2分

∵，

故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列.             

   ……4分

(2)解：由(1)得，即，

∴

                             ……6分

∴S_n=a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n=[(2+2²+2³+…+2ⁿ)－[(－1)+ (－1)²+…+(－1)ⁿ]

，                        ……8分

要使得b_n－λS_n>0對(duì)任意n∈N^*都成立，

即對(duì)任意n∈N*都成立.

①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ－1>0，∴對(duì)任意正偶數(shù)n都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，有最小值1.5，∴λ<1.5.      ……12分

綜上所述，存在常數(shù)λ，使得b_n－λS_n>0對(duì)任意n∈N^*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1).                                            ……14分