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某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人）另外750名工人參加過長期培訓（稱為B類工人）．現(xiàn)用分層抽樣的方法（按A類、B類分兩層）從該工廠的工人中抽取100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）．從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果如下表1和表2．
表1

生產(chǎn)能力分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	8	x	3	2

表2

生產(chǎn)能力分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	6	y	27	18

（Ⅰ）先確定x、y的值，再補齊下列頻率分布直方圖．

（Ⅱ）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認為“工人的生產(chǎn)能力與工人的類別有關(guān)”？

生產(chǎn)能力分組	[110，130）	[130，150）	合計
A類工人
B類工人
合計

附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k）	0，05	0.025	0.01	0.005
k	3.841	5.024	6.635	7.879

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如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，直線A′B和直線AC、CC′、C′A所成的角的大小分別是α、β、γ，則α、β、γ的大小關(guān)系是（　　）

A．β＜α＜γ

B．α＜β＜γ

C．α＜γ＜β

D．β＜γ＜α

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一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算.共10小題，每小題5分，

滿分50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

B

C

B

D

A

D

D

C

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算. 本大題共5小題，每小

題5分，滿分20分．其中14～15題為選做題，考生只能選做一題. 第十二題的第一個空2分，第二個空3分．

11. ；    12. 1， 2^n-1；          13. 80；   14.；       15.1.

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

某校高三年級要從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表參加

學校的演講比賽.

(1)求男生a被選中的概率； (2) 求男生a和女生d至少一人被選中的概率.

解：從3名男生a、b、c和2名女生d、e中任選3名代表選法是：

a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；

b，c，e；b，d，e；c，d，e共10種.                    ……4分

(1)男生a被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e，共6種，于是男生a被選中的概率為.  ……8分

(2) 男生a和女生d至少一人被選中的選法是：a，b，c；a，b，d；a，b，e；a，c，d；a，c，e；a，d，e；b，c，d；b，d，e；c，d，e共9種，

故男生a和女生d至少一人被選中的概率為.           ……12分                            

17.(本小題滿分14分)

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且a=2， cosB=．

(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面積S_△ABC=4，求b，c的值．

解：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，

∴sinB=.                              ……2分

由正弦定理得，                          ……4分

 .                           ……6分

(2) ∵S_△ABC=acsinB=4，                             ……8分

 ∴，  ∴c=5.                      ……10分

由余弦定理得b²=a²+c²－2accosB，

∴.……14分

18.(本小題滿分14分) 如圖4，A₁A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點，A₁A= AB=2.

(1)求證: BC⊥平面A₁AC；

(2)求三棱錐A₁-ABC的體積的最大值.

證明:∵C是底面圓周上異于A，B的任意一點，

且AB是圓柱底面圓的直徑，

∴BC⊥AC,                  ……2分

∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，

∴AA₁⊥BC，                ……4分

∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，

ACÌ平面AA₁ C，

                            ∴BC⊥平面AA₁C.           ……6分

(2)解法1：設AC=x，在Rt△ABC中，

(0<x<2) ,                     ……7分

故(0<x<2),

……9分

即. ……11分

∵0<x<2，0<x²<4，∴當x²=2，即時，

三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為.                       ……14分

解法2: 在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²=4，                  ……7分

                ……9分

.               ……11分

當且僅當 AC=BC 時等號成立，此時AC=BC=.

∴三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為.                     ……14分

19. (本小題滿分14分)

設A(x₁，x₂)、B(x₂，y₂)是拋物線x²=4y上不同的兩點，且該拋物線在點A、B處的兩條切線相交于點C，并且滿足.

(1)求證：x_1?x₂=－4；

(2)判斷拋物線x²=4y的準線與經(jīng)過A、B、C三點的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

(1) 證明：由x²=4y得，則，

∴拋物線x²=4y在點A(x₁，x₂)、B(x₂，y₂)處的切線的斜率分別為，

……2分

∵，∴，                            ……4分

∴拋物線x²=4y在點A(x₁，x₂)、B(x₂，y₂)處兩切線互相垂直，

∴，∴x_1?x₂=－4.                             ……6分

(2) 解法1: ∵，∴，

∴經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心為線段AB的中點D，

圓心D，                            ……8分

∵拋物線x²=4y的準線方程為y=－1, ∴點D到直線

y=－1的距離為，                       ……10分

∵經(jīng)過A、B、C三點的圓的半徑，

由于x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，且x_1?x₂=－4，則，

∴

，

即

，                         ……12分

∴d=r，∴拋物線x²=4y準線與經(jīng)過A、B、C三點的圓相切.  ……14分

解法2:由(1)知拋物線x²=4y在點A(x₁，x₂)處的切線的斜率為

又x₁²=4y₁，∴切線AC所在直線方程為，

即                              ①      ……8分

同理可得切線BC所在直線方程為  ②

由①，②得點C的橫坐標，縱坐標y_C=－1，即

……10分

∵，∴，

∴經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心為線段AB的中點D，

圓心D，

∵拋物線x²=4y的準線方程為y=－1,

∴點D到直線y=－1的距離為，            ……12分                 

∵經(jīng)過A、B、C三點的圓的半徑r=|CD|=，

∴d=r，∴拋物線x²=4y準線與經(jīng)過A、B、C三點的圓相切.  ……14分

20. (本小題滿分12分)

某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務，每件產(chǎn)品由3個A 型零件和1個B 型零件配套組成. 每個工人每小時能加工5個A 型零件或者3個B 型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時工作(分組后人數(shù)不再進行調(diào)整)，每組加工同一中型號的零件.設加工A 型零件的工人人數(shù)為x名(x∈N^*)

(1)設完成A 型零件加工所需時間為f(x)小時，寫出f(x)的解析式；

(2)為了在最短時間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務，x應取何值？

(本題主要考查函數(shù)最值、不等式、導數(shù)及其應用等基礎知識，考查分類與整合的數(shù)學思想方法，以及運算求解和應用意識)

解：(1) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工A型零件450個，則完成A型零件加工所需時間(x∈N*，且1≤x≤49).              ……2分   

(2) 生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工B型零件150個，則完成B型零件加工所需時間(x∈N*，且1≤x≤49).            ……4分設完成全部生產(chǎn)任務所需時間h(x)小時，則h(x)為f(x)與 g(x)的較大者，

令f(x)≥g(x)，則，解得，

所以，當1≤x≤32時，f(x)>g(x)；當33≤x≤492時，f(x)<g(x).

故                 ……6分

當1≤x≤32時，，故h(x)在[1，32]上單調(diào)遞減，

則h(x)在[1，32]上的最小值為(小時)；       ……8分

當33≤x≤49時，，故h(x)在[33，49]上單調(diào)遞增，

則h(x)在[33，49]上的最小值為(小時)； ……10分

∵h(33)> h(32)，∴h(x)在[1，49]上的最小值為h(32)， ∴x=32.

答：為了在最短時間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務，x應取32.        ……12分

21. (本小題滿分14分)

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，且a₁=1.

(1)求證：數(shù)列{ a_n－×2ⁿ}是等比數(shù)列；

(2)設S_n是數(shù)列{a_n}的前n項的和，問是否存在常數(shù)λ，使得b_n－λS_n>0對任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由.     

(本題主要考查數(shù)列的通項公式、數(shù)列前n項和、不等式等基礎知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力)

(1)證法1：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                        ……2分

由a_n+a_n+1=2ⁿ，得，故數(shù)列

是首項為，公比為－1的等比數(shù)列.                 ……4分

證法2：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x 的方程x²－2ⁿ x+ b_n=0 (n∈N^*)的兩根，

∴                                        ……2分

∵，

故數(shù)列是首項為，公比為－1的等比數(shù)列.             

   ……4分

(2)解：由(1)得，即，

∴

                             ……6分

∴S_n=a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n=[(2+2²+2³+…+2ⁿ)－[(－1)+ (－1)²+…+(－1)ⁿ]

，                        ……8分

要使得b_n－λS_n>0對任意n∈N^*都成立，

即對任意n∈N*都成立.

①當n為正奇數(shù)時，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對任意正奇數(shù)n都成立.

當且僅當n=1時，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

①當n為正奇數(shù)時，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ⁺¹－1>0，∴對任意正奇數(shù)n都成立.

當且僅當n=1時，有最小值1，∴λ<1.           ……10分

②當n為正偶數(shù)時，由(*)式得，

即，

∵2ⁿ－1>0，∴對任意正偶數(shù)n都成立.

當且僅當n=2時，有最小值1.5，∴λ<1.5.      ……12分

綜上所述，存在常數(shù)λ，使得b_n－λS_n>0對任意n∈N^*都成立，λ的取值范圍是(－∞，1).                                            ……14分