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（2009•楊浦區(qū)一模）（文）已知△OAB，

OA

=

a

，

OB

=

b

，|

a

|=

2

，|

b

|=

3

，

a

•

b

=1，邊AB上一點(diǎn)P₁，這里P₁異于A、B．由P₁引邊OB的垂線P₁Q₁，Q₁是垂足，再由Q₁引邊OA的垂線Q₁R₁，R₁是垂足．又由R₁引邊AB的垂線R₁P₂，P₂是垂足．同樣的操作連續(xù)進(jìn)行，得到點(diǎn)　P_n、Q_n、R_n（n∈N^*）．設(shè) 

APn

=tn(

b

-

a

)(0＜t_n＜1），如圖．
（1）．求|

AB

|的值；
（2）．某同學(xué)對(duì)上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

BQ1

=-

2

3

(1-t1)

b

，問(wèn)該同學(xué)這個(gè)結(jié)論是否正確？并說(shuō)明理由；
（3）．當(dāng)P₁、P₂重合時(shí)，求△P₁Q₁R₁的面積．

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（2009•楊浦區(qū)一模）已知△OAB，

OA

=

a

，

OB

=

b

，|

a

|=

2

，|

b

|=

3

，

a

•

b

=1，邊AB上一點(diǎn)P₁，這里P₁異于A、B．由P₁引邊OB的垂線P₁Q₁，Q₁是垂足，再由Q₁引邊OA的垂線Q₁R₁，R₁是垂足．又由R₁引邊AB的垂線R₁P₂，P₂是垂足．同樣的操作連續(xù)進(jìn)行，得到點(diǎn)　P_n、Q_n、R_n（n∈N^*）．設(shè) 

APn

=tn(

b

-

a

)(0＜t_n＜1），如圖．
（1）求|

AB

|的值；
（2）某同學(xué)對(duì)上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

BQ1

=-

2

3

(1-t1)

b

，問(wèn)該同學(xué)這個(gè)結(jié)論是否正確？并說(shuō)明理由；
（3）用t₁和n表示t_n．

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一、

1．B       2．A      3．D      4．A      5．C       6．A      7．D      8．B       9．D      10．A

11．A     12．B

1．由題意知，解得．

2．由得，化得，解得．

3．，又．

4．設(shè)到的角為的斜率的斜率，

則，于是．

5．由條件，解即得，則．

6．不等式組化得 

       平面區(qū)域如圖所示，陰影部分面積：

       ．

7．由已知得，而

       ，則是以3為公比的等比數(shù)列．

8．即，于是，而解得．

9．函數(shù)可化為，令，

       可得其對(duì)稱中心為，當(dāng)時(shí)得對(duì)稱中心為．

10．．

11．由條件得：，則得所以．

12．沿球面距離運(yùn)動(dòng)路程最短，最短路程可以選

       ．

二、填空題

13．

       ，由與垂直得．即

       ，解得

14．99

       在等差數(shù)列中，也是等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)定理得．

       所以．

15．

由題意知，直線是拋物線的準(zhǔn)線，而到的距離等于到焦點(diǎn)的距離．即求點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離和的最小值，就是點(diǎn)與點(diǎn)的距離，為．

16．②

一方面．由條件，，得，故②正確．

另一方面，如圖，在正方體中，把、分別記作、，平面、平面、平面分別記作、、，就可以否定①與③．

三、解答題

17．解：，且

       ，即

       又．

       由余弦定理，

       ，故．

18．解：（1）只有甲解出的概率：．

       （2）只有1人解出的概率：．

19．解：（1）由已知，∴數(shù)列的公比，首項(xiàng)

              又?jǐn)?shù)列中，

           ∴數(shù)列的公差，首項(xiàng)

           ∴數(shù)列、的通項(xiàng)公式依次為．

（2），

       ．

20．（1）證明；在直三棱柱中，

              面

              又

              面，而面，

           ∴平面平面

（2）解：取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則．

與平面所成角大小等于與平面所成角的大�。�

取中點(diǎn)，連接、，則等腰三角形中，．

又由（1）得面．

面

為直線與面所成的角

又

，

∴直線與平面所成角的正切值為．

（注：本題也可以能過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系解答）

21．解：（1）設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為

              ，半焦距

              由已知得，解得，則

              故橢圓及雙曲線方程分別為及．

       （2）向量與的夾解即是，設(shè)，則

              由余弦定理得           ①

        由橢圓定義得                    ②

        由雙曲線定義得                   ③

        式②+式③得，式②式③得

將它們代入式①得，解得，所以向量與夾角的余弦值為．

22．解（1）由得在處有極值

                               ①

又在處的切線的傾斜角為

          ②

由式①、式②解得

設(shè)的方程為

∵原點(diǎn)到直線的距離為，

解得．

又不過(guò)第四象限，．

所以切線的方程為．

切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），則，

解得

．

（2）

       在上遞增，在上遞減

       而

       在區(qū)間上的最大值是3，最小值是