題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
（
為實數(shù)）.
（Ⅰ）當(dāng)
時，求
的最小值；
（Ⅱ）若在
上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.
【解析】第一問中由題意可知：
. ∵ ∴
∴
.
當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
. 故
.
第二問
.
當(dāng)
時，
,在上有，遞增，符合題意；
令
，則
，∴
或
在上恒成立.轉(zhuǎn)化后解決最值即可。
解：(Ⅰ) 由題意可知：. ∵ ∴ ∴.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，. 故.
(Ⅱ) .
當(dāng)時，,在上有，遞增，符合題意；
令，則，∴或在上恒成立.∵二次函數(shù)的對稱軸為
，且
∴
或
或
或
或
. 綜上
心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：一般情況下，學(xué)生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化．講課開始時，學(xué)生的注意力逐步增強，中間有一段時間學(xué)生的注意力保持較為理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．經(jīng)過實驗分析可知，學(xué)生的注意力y隨時間t的變化規(guī)律有如下關(guān)系式：
y＝
(1)講課開始后第5分鐘時與講課開始后第25分鐘時比較，何時學(xué)生的注意力更集中？
(2)講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？
(3)一道數(shù)學(xué)綜合題，需要講解24分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力最低達到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？如果不能講解完，說明理由；如果能夠講解完，請說明老師應(yīng)該在哪個時間段內(nèi)講解．
已知函數(shù)
，數(shù)列
的項滿足：
，（1）試求
（2） 猜想數(shù)列
的通項，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【解析】第一問中，利用遞推關(guān)系
, 
, 
第二問中，由（1）猜想得：
然后再用數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟證明即可。
解: (1) ,
, …………….7分
（2）由（1）猜想得：
（數(shù)學(xué)歸納法證明）i) 
,
,命題成立
ii) 假設(shè)
時，
成立
則
時，
綜合i),ii) : 成立
函數(shù)
是定義在
上的奇函數(shù)，且
。
（1）求實數(shù)a，b，并確定函數(shù)
的解析式；
（2）判斷在（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（3）寫出的單調(diào)減區(qū)間，并判斷有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值。（本小問不需要說明理由）
【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式和奇偶性和單調(diào)性的綜合運用。第一問中，利用函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且。
解得
，
（2）中，利用單調(diào)性的定義，作差變形判定可得單調(diào)遞增函數(shù)。
（3）中，由2知，單調(diào)減區(qū)間為
，并由此得到當(dāng)，x=-1時，
，當(dāng)x=1時，
解：（1）
是奇函數(shù)，
。
即
，
，………………2分
，又，
，，
（2）任取
，且
，
，………………6分
，
，
，
，
，
在（-1，1）上是增函數(shù)�！�8分
（3）單調(diào)減區(qū)間為…………………………………………10分
當(dāng)，x=-1時，，當(dāng)x=1時，。
已知函數(shù)
，其中
.
（1）若
在
處取得極值，求曲線
在點
處的切線方程；
（2）討論函數(shù)在
的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)在
上的最小值為2，求
的取值范圍.
【解析】第一問，
因在處取得極值
所以，
，解得
，此時
，可得求曲線在點
處的切線方程為：
第二問中，易得
的分母大于零，
①當(dāng)
時，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)
時，由可得
，由
解得
第三問，當(dāng)時由（2）可知，在上處取得最小值
，
當(dāng)時由（2）可知在
處取得最小值
，不符合題意.
綜上，函數(shù)在上的最小值為2時，求的取值范圍是
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