題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
的最小值為0，其中
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若對任意的
有
≤
成立，求實數(shù)
的最小值；
（Ⅲ）證明
（
）.
【解析】(1)解：
的定義域為
由
，得
當(dāng)x變化時，
，的變化情況如下表：
|
x |
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
|
極小值 |
|
因此，在
處取得最小值，故由題意
，所以
（2）解：當(dāng)
時，取
，有
，故時不合題意.當(dāng)
時，令
，即
令
，得
①當(dāng)
時，
，
在
上恒成立。因此
在
上單調(diào)遞減.從而對于任意的
，總有
，即
在上恒成立，故符合題意.
②當(dāng)
時，
，對于
，
，故在
上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時，
，即
不成立.
故不合題意.
綜上，k的最小值為
.
（3）證明：當(dāng)n=1時，不等式左邊=
=右邊，所以不等式成立.
當(dāng)
時，
在（2）中取
，得
，
從而
所以有
綜上，
，
| 1 |
| x |
| 2 |
| y |
| xy |
| 1 | ||
|
| 1 |
| x |
| 2 |
| y |
|
| 1 |
| x |
| 2 |
| y |
| 2 |
| 2 |
| 1 |
| x |
| 2 |
| y |
| xy |
| 1 | ||
|
| 1 |
| x |
| 2 |
| y |
|
| 1 |
| x |
| 2 |
| y |
| 2 |
| 2 |
函數(shù)
在同一個周期內(nèi)，當(dāng)
時,
取最大值1，當(dāng)
時，取最小值
。
（1）求函數(shù)的解析式
（2）函數(shù)
的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到
的圖象？
（3）若函數(shù)
滿足方程
求在
內(nèi)的所有實數(shù)根之和.
【解析】第一問中利用
又因
又
函數(shù)
第二問中，利用的圖象向右平移
個單位得
的圖象
再由
圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911025203078536/SYS201207091103422182387233_ST.files/image020.png">.縱坐標(biāo)不變，得到
的圖象，
第三問中，利用三角函數(shù)的對稱性，
的周期為
在內(nèi)恰有3個周期，
并且方程
在內(nèi)有6個實根且
同理，
可得結(jié)論。
解：(1)
又因
又 函數(shù)
(2)的圖象向右平移個單位得的圖象
再由圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911025203078536/SYS201207091103422182387233_ST.files/image020.png">.縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，
(3)的周期為
在內(nèi)恰有3個周期，
并且方程在內(nèi)有6個實根且
同理，
故所有實數(shù)之和為
，
，
為常數(shù)，離心率為
的雙曲線
：
上的動點
到兩焦點的距離之和的最小值為
，拋物線
：
的焦點與雙曲線的一頂點重合。(Ⅰ)求拋物線的方程；（Ⅱ）過直線
：
（
為負常數(shù)）上任意一點
向拋物線引兩條切線，切點分別為
、
，坐標(biāo)原點
恒在以
為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍。
【解析】第一問中利用由已知易得雙曲線焦距為，離心率為，則長軸長為2，故雙曲線的上頂點為
，所以拋物線的方程
第二問中，為
，
，
，
故直線
的方程為
，即
，
所以
，同理可得：
借助于根與系數(shù)的關(guān)系得到即
，
是方程
的兩個不同的根，所以
由已知易得
，即
解：(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為，離心率為，則長軸長為2，故雙曲線的上頂點為，所以拋物線的方程
（Ⅱ）設(shè)為，，，
故直線的方程為，即，
所以，同理可得：，
即，是方程的兩個不同的根，所以
由已知易得
，即
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