題目列表(包括答案和解析)
某小區(qū)規(guī)劃一塊周長(zhǎng)為2a（a為正常數(shù)）的矩形停車場(chǎng)，其中如圖所示的直角三角形ADP內(nèi)為綠化區(qū)域．且∠PAC=∠CAB．設(shè)矩形的長(zhǎng)AB=x，AB＞AD(本小題12分）設(shè)函數(shù)
.
(1)求函數(shù)
的最大值和最小正周期；
的三個(gè)內(nèi)角，若
且C為銳角，求
.(意大利餡餅問題)山姆的意大利餡餅屋中設(shè)有一個(gè)投鏢靶 該靶為正方形板．邊長(zhǎng)為18厘米，掛于前門附近的墻上，顧客花兩角伍分的硬幣便可投一鏢并可有機(jī)會(huì)贏得一種意大利餡餅中的一個(gè)，投鏢靶中畫有三個(gè)同心圓，圓心在靶的中心，當(dāng)投鏢擊中半徑為1厘米的最內(nèi)層圓域時(shí)．可得到一個(gè)大餡餅；當(dāng)擊中半徑為1厘米到2厘米之間的環(huán)域時(shí)，可得到一個(gè)中餡餅；如果擊中半徑為2厘米到3厘米之間的環(huán)域時(shí)，可得到一個(gè)小餡餅，如果擊中靶上的其他部分，則得不到諂餅，我們假設(shè)每一個(gè)顧客都能投鏢中靶，并假設(shè)每個(gè)圓的周邊線沒有寬度，即每個(gè)投鏢不會(huì)擊中線上，試求一顧客將嬴得：
（a）一張大餡餅，
（b）一張中餡餅，
（c）一張小餡餅，
（d）沒得到餡餅的概率
(本小題滿分12分)
有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋼板，將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，然后焊接成一個(gè)無蓋的蓄水池。
（Ⅰ）寫出以x為自變量的容積V的函數(shù)解析式V(x)，并求函數(shù)V(x)的定義域；
（Ⅱ）指出函數(shù)V(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）蓄水池的底邊為多少時(shí)，蓄水池的容積最大？最大容積是多少？
(本小題滿分12分) 已知向量
，
，
.
(1)若
求向量
與
的夾角；
(2)當(dāng)
時(shí)，求函數(shù)
的最大值。
1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B 
1l．B 12．A
2．解析：
，∴選C．
3．解析：
是增函數(shù) 
故
，即
又
，故選B．
4．解析：如圖作出可行域，作直線
，平移直線
至
位置，使其經(jīng)過點(diǎn)
．此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值（注意
與
反號(hào)）
由
得
，故選A
5．解析：設(shè)有人投中為事件，則
，
故選C．
6．解析：
展開式中通項(xiàng)；
由
，得
，故選C．
7．解析：
由
得
，故選D．
8．略
9．解析：由
得準(zhǔn)線方程
，雙曲線準(zhǔn)線方程為
，解得
，
，故選D．
10．解析：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，取
中點(diǎn)為
，連接
，則
為
與
所成的角，在
中
，故選B．
11．解析：
由題意
，則
，故選B．
12．解析：由已知
，
為球的直么
，又
，
設(shè)
，則
，
又由
，解得
，故選A．
另法：將四面體
置于正方休中．
正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑，由此得
，然后可得
．
二、填空題
13．3；解析：
在
上的投影是
．
14．（0．2）；解析：由
，解得
．
15．
解析：
，
由余弦定理
為鈍角
，即
，
解得．
16．②③；
解析：容易知命題①是錯(cuò)的，命題②、③都是對(duì)的，對(duì)于命題④我們考查如圖所示的正方體，政棱長(zhǎng)為
，顯然
與
為平面
內(nèi)兩條距離為的平行直線，它們?cè)诘酌?sub>內(nèi)的射影
、
仍為兩條距離為的平行直線．但兩平面與卻是相交的．
三、
17．解：（1）
，
，
即
，故
．
（2）
由
得
．
設(shè)邊上的高為
。則
．
18．（1）設(shè)甲、乙兩人同時(shí)參加災(zāi)區(qū)服務(wù)為事件，則
．
（2）記甲、乙兩人同時(shí)參加同一災(zāi)區(qū)服務(wù)為事件
，那么
．
19．解：
（1）
平面
∵二面角
為直二面角，且
，
平面
平面
．
（2）（法一）連接
交交于
點(diǎn)，連接
是邊長(zhǎng)為2的正方形， 
，
平面
，由三垂線定理逆定理得
是二面角
的平面角
由（1）
平面
，
．
在
中，
∴在
中，
故二面角等于
．
（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系
，則
，
設(shè)平面的法向量分別為
，則由
得
，而平面
的一個(gè)法向理
故所求二面角等于
．
20．解：（1）由題設(shè)
，即
易知
是首項(xiàng)為
，公差為2的等差數(shù)列，
∴通項(xiàng)公式為
，
（2）由題設(shè)，
，得
是以
公比為
的等比數(shù)列．
由
得
．
21．解：（1）由題意
，由拋物線定義可求得曲線
的方程為
．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為
若直線有斜率時(shí)，其坐標(biāo)滿足下列方程組：
， 
若沒有斜率時(shí)，方程為
．
又
．
；又
，
．
22．（1）解：方程
可化為
．
當(dāng)
時(shí)，
，又
，于是
，解得
，故
．
（2）解：設(shè)
為曲線上任一點(diǎn)，由
知曲線在點(diǎn)處的切線方程為
，即
．
令
，得
，從而得切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為
令
，得
，從而得切線與直線
的交點(diǎn)坐標(biāo)為
．所以點(diǎn)處的切線與直線
所圍成的三角形面積為
．故曲線
上任一點(diǎn)處的切線與直線所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6．
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