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設(shè)數(shù)列{a_n}、{b_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意n∈N^*，都有，b₁=e，，c_n=a_n+1•lnb_n（常數(shù)λ＞0，lnb_n是以為底數(shù)的自然對(duì)數(shù)，e=2.71828…）
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用反證法證明：當(dāng)λ=4時(shí)，數(shù)列{c_n}中的任何三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，試問：是否存在常數(shù)M，對(duì)一切n∈N^*，（1-λ）T_n+λc_n≥M恒成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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把正偶數(shù)列{2n}中的數(shù)按“上小下大，左小右大”的原則排成如圖“三角形”所示的數(shù)表，設(shè)a_ij（i，j∈N^*）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)．
（1）若a_mn=2010，求m，n的值．
（2）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）=n+125ⁿ•x³（x＞0，n∈N^*），若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為b_n．①求數(shù)列{f（b_n）}的前n項(xiàng)和S_n；②令Cn=

52n

5n-1

• f(bn) ，{Cn}的前n項(xiàng)之積為T_n（n∈N^*），求證：Tn＜

4

3

•n!．

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把正偶數(shù)列{2n}中的數(shù)按“上小下大，左小右大”的原則排成如圖“三角形”所示的數(shù)表，設(shè)a_ij（i，j∈N^*）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)．
（1）若a_mn=2010，求m，n的值．
（2）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）=n+125ⁿ•x³（x＞0，n∈N^*），若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為b_n．①求數(shù)列{f（b_n）}的前n項(xiàng)和S_n；②令的前n項(xiàng)之積為T_n（n∈N^*），求證：．

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一選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

D

D

B

D

B

A

C

D

C

提示：10．解：數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，．設(shè)（），則 ，所以是等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和

11．由題，消去可得：，又由題有：，由以上條件可得：點(diǎn)的軌跡為如圖所示的線段，而表示點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，所以

12．設(shè)點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為，則由雙曲線的第二定義有：，由題有，所以，又由第一定義（在右支上），所以，，又由點(diǎn)在右支上，則，，解得：，而，所以

二．填空題

13．       14．          15．         16．  1

提示：15．，， 在單調(diào)遞減，

16．如圖，設(shè)三棱錐得體積為,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)三棱錐體積最大，過點(diǎn)作,連接，由題可知平面,由三垂線定理可知為側(cè)面與底面成的角，所以，而用等面積法可知：，，所以，代入，得

三．解答題

17．解：（1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE

…………………………………………2分

又…………………………………4分

…………………………………………………………5分

（2）連接為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）…7分

由于，所以,,為等腰三角形，……………………………………………………9分

  （3）解法一：連接，設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為，

由,,,為等腰三角形，

的高為，………11分

又，又 

點(diǎn)B到平面OCD的距離為…………………………………………13分

解法二：點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，取的中點(diǎn)P連

接OP,過點(diǎn)作 于點(diǎn)Q，，又

又 ,

線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離, ………………………………12分

由題可知：,,在中.……13分

18．解：在中，

………………………………3分

   ……5分    ……………7分

(2)由余弦定理得，又由已知和（1）可知：

…………………………10分

………………………………13分

19．解：（Ⅰ）平面平面，…………2分

在中，，為中點(diǎn)．……………4分

平面，平面平面．……………6分

（Ⅱ）如圖，作交于點(diǎn)，連接，

由已知得平面．是在面內(nèi)的射影．

由三垂線定理知，為二面角的平面角．……………9分

過作交于點(diǎn)，則，，

．在中，．…………11分

在中，．，

即二面角為．………………………………13分

20．解答：（1）_{，，又因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/d07a3e58e1ad645eea45ade1f438832b.zip/65942.files/image295.gif" >} 按向量平移后得函數(shù)_……..2分

由g(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得g(-x)=-g(x),即,

,…………………………………………………...4分

由

當(dāng)（舍）所以…….6分

（2）證明：因?yàn)?sub>

所以……………………………………8分

故                 ……………………………………9分

又   ……………………12分

所以     .……………………………………13分

21．解：（I）由已知可得

       ……2分    所以…3分  橢圓方程為……5分

   （II），且定值為    由（I），A₂（2，0），B（0，1），且//A₂B

       所以直線的斜率………………………………6分

       設(shè)直線的方程為

             解得：

即

   ………………………………………………8分

       ……………………9分

       又因?yàn)?sub>

          又

       是定值。…………12分

22．（1）（為正整數(shù)），

所以數(shù)列的反數(shù)列為的通項(xiàng)（為正整數(shù)）.   …………3分

（2）對(duì)于（1）中，不等式化為.

設(shè)，

，

∴數(shù)列單調(diào)遞增, 所以, ，要使不等式恒成立，只要.

∵，∴，又,

所以，使不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立的的取值范圍是.…………7分（3）設(shè)公共項(xiàng)為正整數(shù).                    

①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.   ，

則（表示是的子數(shù)列），.所以的前項(xiàng)和.

② 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.，則，同樣有，.所以的前項(xiàng)和.                        …………12分