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				(3)令.求證:當時..                     2009年上海市四校高三質量調研 數學試卷			【查看更多】
			


		
           
          


		
          
		
          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
          已知a為實數，數列{an}滿足a1=a，當n≥2時，數學公式，
          （1）當a=100時，填寫下列列表格：
          n2335100
          an
          （2）當a=100時，求數列{an}的前100項的和S100；
          （3）令數學公式，求證：當數學公式時，數學公式．
          

			
          
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          等差數列的前項和記為,已知.
          


          （1）求數列的通項；
          


          （2）若，求；
          


          （3）令，求證：數列為等比數列．
          


           
          

			
          
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          已知數列滿足，且對任意非負整數均有：.
          


          （1）求；
          


          （2）求證：數列是等差數列，并求的通項；
          


          （3）令，求證：.
          


           
          

			
          
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          （本小題滿分10分）
          


          把所有正整數按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數表，其中第行共有個正整數，設表示位于這個數表中從上往下數第行，從左往右第個數．
          


          （1）求的值；
          


          （2）用表示；
          


          （3）記，求證：當時，
          


          


           
          


           
          

			
          
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          已知定義在上的函數，其中為大于零的常數．
          


          （Ⅰ）當時，令，求證：當時，（為自然對數的底數）；
          


          （Ⅱ）若函數，在處取得最大值，求的取值范圍.
          


           
          

			
          
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          一、填空題：
          1．   2．    3．    
4．12     5．    
6．11    7．    
8．2009        
9．4個    10．①②
          11．解: 。因為△ABC的面積為1, ,所以,△ABE的面積為,因為D是AB的中點,所以, △BDE的面積為,因為,所以△BDF的面積為,當且僅當時,取得最大值。
          二、選擇題：
          12．B    13．C     14．D     15．D
          三、解答題：
          16．解：（Ⅰ）因為點的坐標為，根據三角函數定義可知，，，                                   
        2分
          所以                                   
            4分
          （Ⅱ）因為三角形為正三角形，所以，，，                   
                                 5分
          所以
                                                      
  8分
          所以
          。                                    
   11分
          17．解：方法一：（I）證明：連結OC，因為所以       
          又所以，                              
2分
          在中，由已知可得 而
          所以所以即，
          而       所以平面。                                
4分
          （II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知
          所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，         
5分
          在中，因為是直角斜邊AC上的中線，所以所以所以異面直線AB與CD所成角的大小為。                                                      
8分
          （III）解：設點E到平面ACD的距離為，因為
                                                                              
9分
          在中， 所以
          而所以，
          所以點E到平面ACD的距離為。                                  
12分 
          方法二：（I）同方法一。
          （II）解：以O為原點，如圖建立直角坐標系，則 ，設的夾角為，則所以異面直線AB與CD所成角的大小為。
          （III）解：設平面ACD的法向量為則
                    
          令得是平面ACD的一個法向量。又 所以點E到平面ACD的距離       。
           18．解：（Ⅰ）由年銷售量為件，按利潤的計算公式，有生產A、B兩產品的年利潤分別為：
          且        
2分
          所以    
                 5分
          （Ⅱ）因為所以為增函數，
          ，所以時，生產A產品有最大利潤為（萬美元）                        
7分
          又，所以時，生產B產品
          有最大利潤為460（萬美元）                              
         9分
          現在我們研究生產哪種產品年利潤最大，為此，我們作差比較：
            11分
          所以：當時，投資生產A產品200件可獲得最大年利潤;
               當時，生產A產品與生產B產品均可獲得最大年利潤；
               當時，投資生產B產品100件可獲得最大年利潤。12分
          19．解：（1）當時， ，成立，所以是奇函數；
          3分
          當時，，這時所以是非奇非偶函數；                                 
                          6分
          （2）當時，設且,則
                           
9分
          當時，因為且，所以
          所以，
          ，所以是區(qū)間 的單調遞減函數。 12分
          同理可得是區(qū)間 的單調遞增函數。                          
14分
          20．解：（Ⅰ）由拋物線：知，設，在上，且，所以，得，代入，得，
          所以。                                                     
4分
          在上，由已知橢圓的半焦距，于是
          消去并整理得  ， 解得（不合題意，舍去）．
          故橢圓的方程為。                                     
7分
          （另法：因為在上，
          所以，所以，以下略。）
          （Ⅱ）由得，所以點O到直線的距離為
          ，又，
          所以，
          且。                                     
10分
          下面視提出問題的質量而定：
          如問題一：當面積為時，求直線的方程。（）      得2分
          問題二：當面積取最大值時，求直線的方程。（）       得4分
          21．解：（1）
          2
          3
          35
          100
          97
          94
          3
          1
                                                                              
4分
          （2）由題意知數列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數列,從第35項開始,奇數項均為3,偶數項均為1,                              6分
          從而=                     8分
              =。                 
10分
          （3）當時，因為,                       

           所以                               
12分
          當時，
          因為，所以，                 
    14分
          當時，
          所以。                                                  
16分
           
           
           
           
          		
          
	
          
	
          
		
          


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