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已知直線(xiàn)l：與橢圓C：（a>1）交于P，Q兩點(diǎn)。
（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x₀，y₀），求證：；
（2）橢圓C的右頂點(diǎn)為A，且A在以PQ為直徑的圓上，求△OPQ的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。

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已知直線(xiàn)l的方程為x=-2，且直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)M，
圓O：x²+y²=1與x軸交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）過(guò)M點(diǎn)的直線(xiàn)l₁交圓于P、Q兩點(diǎn)，且圓孤PQ恰為圓周的

1

4

，求直線(xiàn)l₁的方程；
（Ⅱ）求以l為準(zhǔn)線(xiàn)，中心在原點(diǎn)，且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程；
（Ⅲ）過(guò)M點(diǎn)的圓的切線(xiàn)l₂交（Ⅱ）中的一個(gè)橢圓于C、D兩點(diǎn)，其中C、D兩點(diǎn)在x軸上方，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)．

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一、填空題：

1．   2．    3．     4．12     5．     6．11    7．     8．2009         9．4個(gè)    10．①②

11．解: 。因?yàn)椤鰽BC的面積為1, ,所以,△ABE的面積為,因?yàn)镈是AB的中點(diǎn),所以, △BDE的面積為,因?yàn)?sub>,所以△BDF的面積為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最大值。

二、選擇題：

12．B    13．C     14．D     15．D

三、解答題：

16．解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，，，                                            2分

所以                                                4分

（Ⅱ）因?yàn)槿�角�?sub>為正三角形，所以，，，                                                     5分

所以

                                               8分

所以

。                                        11分

17．解：方法一：（I）證明：連結(jié)OC，因?yàn)?sub>所以      

又所以，                               2分

在中，由已知可得 而

所以所以即，

而       所以平面。                                 4分

（II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知

所以直線(xiàn)OE與EM所成的銳角就是異面直線(xiàn)AB與CD所成的角，          5分

在中，因?yàn)?sub>是直角斜邊AC上的中線(xiàn)，所以所以所以異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大小為。                                                       8分

（III）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為，因?yàn)?sub>

                                                                     9分

在中， 所以

而所以，

所以點(diǎn)E到平面ACD的距離為。                                   12分

方法二：（I）同方法一。

（II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立直角坐標(biāo)系，則 ，設(shè)的夾角為，則所以異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大小為。

（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則

令得是平面ACD的一個(gè)法向量。又 所以點(diǎn)E到平面ACD的距離       。

 18．解：（Ⅰ）由年銷(xiāo)售量為件，按利潤(rùn)的計(jì)算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤(rùn)分別為：

且         2分

所以                      5分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>所以為增函數(shù)，

，所以時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(rùn)為（萬(wàn)美元）                         7分

又，所以時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品

有最大利潤(rùn)為460（萬(wàn)美元）                                        9分

現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤(rùn)最大，為此，我們作差比較：

  11分

所以：當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤(rùn);

     當(dāng)時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤(rùn)；

     當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤(rùn)。12分

19．解：（1）當(dāng)時(shí)， ，成立，所以是奇函數(shù)；

3分

當(dāng)時(shí)，，這時(shí)所以是非奇非偶函數(shù)；                                                            6分

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)且,則

                  9分

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>且，所以

所以，

，所以是區(qū)間 的單調(diào)遞減函數(shù)。 12分

同理可得是區(qū)間 的單調(diào)遞增函數(shù)。                           14分

20．解：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)：知，設(shè)，在上，且，所以，得，代入，得，

所以。                                                      4分

在上，由已知橢圓的半焦距，于是

消去并整理得  ， 解得（不合題意，舍去）．

故橢圓的方程為。                                      7分

（另法：因?yàn)?sub>在上，

所以，所以，以下略。）

（Ⅱ）由得，所以點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為

，又，

所以，

且。                                      10分

下面視提出問(wèn)題的質(zhì)量而定：

如問(wèn)題一：當(dāng)面積為時(shí)，求直線(xiàn)的方程。（）      得2分

問(wèn)題二：當(dāng)面積取最大值時(shí)，求直線(xiàn)的方程。（）       得4分

21．解：（1）

2

3

35

100

97

94

3

1

                                                                     4分

（2）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開(kāi)始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,                              6分

從而=                     8分

    =。                  10分

（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>,                       

 所以                                12分

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?sub>，所以，                      14分

當(dāng)時(shí)，

所以。                                                   16分