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（本題滿分14分）

   如圖，矩形是機器人踢足球的場地，，，機器人先從的中點進入場地到點處，，．場地內(nèi)有一小球從點運動，機器人從點出發(fā)去截小球，現(xiàn)機器人和小球同時出發(fā)，它們均作勻速直線運動，并且小球運動的速度是機器人行走速度的2倍．若忽略機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，則機器人最快可在何處截住小球？

 

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一、填空題：

1．   2．    3．     4．12     5．     6．11    7．     8．2009         9．4個    10．①②

11．解: 。因為△ABC的面積為1, ,所以,△ABE的面積為,因為D是AB的中點,所以, △BDE的面積為,因為,所以△BDF的面積為,當且僅當時,取得最大值。

二、選擇題：

12．B    13．C     14．D     15．D

三、解答題：

16．解：（Ⅰ）因為點的坐標為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，，，                                            2分

所以                                                4分

（Ⅱ）因為三角形為正三角形，所以，，，                                                     5分

所以

                                               8分

所以

。                                        11分

17．解：方法一：（I）證明：連結(jié)OC，因為所以      

又所以，                               2分

在中，由已知可得 而

所以所以即，

而       所以平面。                                 4分

（II）解：取AC的中點M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點知

所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，          5分

在中，因為是直角斜邊AC上的中線，所以所以所以異面直線AB與CD所成角的大小為。                                                       8分

（III）解：設點E到平面ACD的距離為，因為

                                                                     9分

在中， 所以

而所以，

所以點E到平面ACD的距離為。                                   12分

方法二：（I）同方法一。

（II）解：以O為原點，如圖建立直角坐標系，則 ，設的夾角為，則所以異面直線AB與CD所成角的大小為。

（III）解：設平面ACD的法向量為則

令得是平面ACD的一個法向量。又 所以點E到平面ACD的距離       。

 18．解：（Ⅰ）由年銷售量為件，按利潤的計算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤分別為：

且         2分

所以                      5分

（Ⅱ）因為所以為增函數(shù)，

，所以時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤為（萬美元）                         7分

又，所以時，生產(chǎn)B產(chǎn)品

有最大利潤為460（萬美元）                                        9分

現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大，為此，我們作差比較：

  11分

所以：當時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤;

     當時，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤；

     當時，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤。12分

19．解：（1）當時， ，成立，所以是奇函數(shù)；

3分

當時，，這時所以是非奇非偶函數(shù)；                                                            6分

（2）當時，設且,則

                  9分

當時，因為且，所以

所以，

，所以是區(qū)間 的單調(diào)遞減函數(shù)。 12分

同理可得是區(qū)間 的單調(diào)遞增函數(shù)。                           14分

20．解：（Ⅰ）由拋物線：知，設，在上，且，所以，得，代入，得，

所以。                                                      4分

在上，由已知橢圓的半焦距，于是

消去并整理得  ， 解得（不合題意，舍去）．

故橢圓的方程為。                                      7分

（另法：因為在上，

所以，所以，以下略。）

（Ⅱ）由得，所以點O到直線的距離為

，又，

所以，

且。                                      10分

下面視提出問題的質(zhì)量而定：

如問題一：當面積為時，求直線的方程。（）      得2分

問題二：當面積取最大值時，求直線的方程。（）       得4分

21．解：（1）

2

3

35

100

97

94

3

1

                                                                     4分

（2）由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,                              6分

從而=                     8分

    =。                  10分

（3）當時，因為,                       

 所以                                12分

當時，

因為，所以，                      14分

當時，

所以。                                                   16分