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在圓中有結(jié)論：如圖所示，“AB是圓O的直徑，直線AC，BD是圓O過(guò)A，B的切線，P是圓O上任意一點(diǎn)，CD是過(guò)P的切線，則有PO²＝PC·PD”．類比到橢圓：“AB是橢圓的長(zhǎng)軸，直線AC，BD是橢圓過(guò)A，B的切線，P是橢圓上任意一點(diǎn)，CD是過(guò)P的切線，則有__▲__．”

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如圖，在半徑為l的球O中．AB、CD是兩條互相垂直的直徑，半徑OP⊥平面ABCD．點(diǎn)E、F分別為大圓上的劣弧、的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：
①向量在向量方向上的投影恰為；
②E、F兩點(diǎn)的球面距離為；
③球面上到E、F兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)點(diǎn)；
④若點(diǎn)M為大圓上的劣弧的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M且與直線EF、PC成等角的直線只有三條，其中正確的是（ ）

A．②④
B．①④
C．②
D．②③

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如圖，在半徑為l的球O中．AB、CD是兩條互相垂直的直徑，半徑OP⊥平面ACBD．點(diǎn)E、F分別為大圓上的劣弧、的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：
①E、F兩點(diǎn)的球面距離為；
②向量在向量方向上的投影恰為；
③若點(diǎn)M為大圓上的劣弧的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M且與直線EF、PC成等角的直線有無(wú)數(shù)條；
④球面上到E、F兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)點(diǎn)；
其中你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)為    ．

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

A

A

A

A

B

B

A

D

二、填空題

11. 8 + ； 12. 60；  13.；    14.  14；   15. .

三、解答題

16. 解：（1）依題意的,所以,于是       ……………2分

由解得                                             ……………4分

把代入,可得,所以,

所以,因?yàn)?sub>,所以 綜上所述，   …………7分

（2）令，得，又  

故 函數(shù)的零點(diǎn)是                   ……………10分

 由得

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是                                ……………13分

17. 解：（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),有平面        ………2分

證明:連結(jié)交于,連結(jié)∵四邊形是矩形  ∴為中點(diǎn)

又為中點(diǎn),從而  ……………………………4分

∵平面,平面∴平面……………6分

（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,,,  ……7分

所以,.   ……………………………8分

設(shè)為平面的法向量,則有,即令,可得平面的一個(gè)法向量為,

而平面的一個(gè)法向量為                                       ……………11分

所以所以二面角的余弦值為……………13分

18. 解:

19．解：

（1）依題意雙曲線方程可化為則=4

點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其方程可設(shè)為

由得

則所求橢圓方程為，

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為；………………3分

（2）設(shè),則由，可知

在中

又即

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故的最小值為………………6分

（3）當(dāng)與軸重合時(shí)，構(gòu)不成角AMB，不合題意．

當(dāng)軸時(shí)，直線的方程為，代入解得、的坐標(biāo)分別為、   而，∴，猜測(cè)為定值．………8分

證明：設(shè)直線的方程為，由  ，得

∴ ， ………10分

∴

∴ 為定值。(AB與點(diǎn)M不重合)  ……13分

20．解：

（1）當(dāng)時(shí),由得；當(dāng)時(shí)由得

綜上：當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>； 當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>………3分

（2）………5分

令時(shí)，得即，

①當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為

②當(dāng)時(shí)，，所以，

故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．

③當(dāng)時(shí)，若，;若，，

故當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為;

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為;   …10分

（Ⅲ）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為

若存在使得成立，只須，

即    ………14分

21．（本題滿分14分，共3小題，任選其中2題作答，每小題7分）

 (1)選修4－2：矩陣與變換

解：由 M=  N= 可得

的特征多項(xiàng)式為

令得矩陣的特征值為

再分別求得對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量…………7分

(2) 選修4－5：不等式選講

（1）解：依題意可知 ，

則函數(shù)的圖像如圖所示：

（2）由函數(shù)的圖像容易求得原不等式的解集為…………7分

(3) 選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

解：由 即則易得由易得

圓心到直線的距離為

又圓的半徑為2 , 圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為…………7分