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把函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象．　

(1)求函數(shù)的解析式； (2)若，證明：.

【解析】本試題主要考查了函數(shù) 平抑變換和運用函數(shù)思想證明不等式。第一問中，利用設(shè)上任意一點為（x,y）則平移前對應(yīng)點是（x+1,y-2）代入　，便可以得到結(jié)論。第二問中，令，然后求導(dǎo)，利用最小值大于零得到。

(1)解：設(shè)上任意一點為（x,y）則平移前對應(yīng)點是（x+1,y-2）代入　得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以．……4分

(2) 證明：令，……6分

則……8分

,∴,∴在上單調(diào)遞增．……10分

故，即

 

已知冪函數(shù)滿足。

（1）求實數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式；

（2）對于（1）中的函數(shù)，試判斷是否存在正數(shù)m，使函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為5。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式的求解和函數(shù)的最值的運用。第一問中利用，冪函數(shù)滿足，得到

因為，所以k=0，或k=1，故解析式為

（2）由（1）知，，，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸，和開口求解最大值為5.，得到

（1）對于冪函數(shù)滿足，

因此，解得，………………3分

因為，所以k=0，或k=1，當k=0時，，

當k=1時，，綜上所述，k的值為0或1，。………………6分

（2）函數(shù)，………………7分

由此要求，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，

當時，，因為在區(qū)間上的最大值為5，

所以，或…………………………………………10分

解得滿足題意

 

函數(shù)在同一個周期內(nèi)，當 時,取最大值1，當時，取最小值。

（1）求函數(shù)的解析式

（2）函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到的圖象？

（3）若函數(shù)滿足方程求在內(nèi)的所有實數(shù)根之和.

【解析】第一問中利用

又因

又       函數(shù)

第二問中，利用的圖象向右平移個單位得的圖象

再由圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911025203078536/SYS201207091103422182387233_ST.files/image020.png">.縱坐標不變，得到的圖象，

第三問中，利用三角函數(shù)的對稱性，的周期為

在內(nèi)恰有3個周期，

并且方程在內(nèi)有6個實根且

同理，可得結(jié)論。

解：(1)

又因

又       函數(shù)

(2)的圖象向右平移個單位得的圖象

再由圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911025203078536/SYS201207091103422182387233_ST.files/image020.png">.縱坐標不變，得到的圖象，

(3)的周期為

在內(nèi)恰有3個周期，

并且方程在內(nèi)有6個實根且

同理，

故所有實數(shù)之和為

 

某市投資甲、乙兩個工廠，2011年兩工廠的產(chǎn)量均為100萬噸，在今后的若干年內(nèi)，甲工廠的年產(chǎn)量每年比上一年增加10萬噸，乙工廠第年比上一年增加萬噸，記2011年為第一年，甲、乙兩工廠第年的年產(chǎn)量分別為萬噸和萬噸．

（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；

（Ⅱ）若某工廠年產(chǎn)量超過另一工廠年產(chǎn)量的2倍，則將另一工廠兼并，問到哪一年底，其中哪一個工廠被另一個工廠兼并．

【解析】本試題主要考查數(shù)列的通項公式的運用。

第一問由題得a_n=10n+90，b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1=100+2(1-2^n-1)/ 1-2 =2ⁿ+98

第二問，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查用數(shù)列解決實際問題，其步驟是建立數(shù)列模型，進行計算得出結(jié)果，再反饋到實際中去解決問題．由于比較兩個工廠的產(chǎn)量時兩個函數(shù)的形式較特殊，不易求解，故采取了列舉法，數(shù)據(jù)列舉時作表格比較簡捷．

解：（Ⅰ）由題得a_n=10n+90，b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1=100+2(1-2^n-1)/ 1-2 =2ⁿ+98……6分

（Ⅱ）由于n，各年的產(chǎn)量如下表 

n       1     2    3      4     5     6     7     8    

a_n      100   110   120   130   140   150  160   170

b_n      100   102    106  114   130   162   226   354

2015年底甲工廠將被乙工廠兼并