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        1. 5.函數(shù)在[0.2]上 A.有三個零點(diǎn) B.有兩個零點(diǎn) C.有一個零點(diǎn) D.沒有零點(diǎn)五.思維總結(jié) 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          給出下列五個命題:
          ①函數(shù)f(x)=lnx-2+x在區(qū)間(1,e)上存在零點(diǎn);
          ②若f′(x0)=0,則函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值;
          ③“a=1”是“函數(shù)f(x)=
          a-ex
          1+aex
          在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件.
          ④函數(shù)y=f(1+x)的圖象與函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于y軸對稱;
          ⑤滿足條件AC=
          3
          ,∠B=60°
          ,AB=1的三角形△ABC有兩個.
          其中正確命題的是
           

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          函數(shù)f(x)=x3-x2-x+1在[0,2]上(    )

          A.有三個零點(diǎn)                        B.有兩個零點(diǎn)

          C.有一個零點(diǎn)                        D.沒有零點(diǎn)

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          若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在R上有三個零點(diǎn),且同時滿足:
          ①f(1)=0;
          ②f(x)在x=0處取得極大值;
          ③f(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù).
          (Ⅰ)當(dāng)a=-2時,求y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
          (Ⅱ)若g(x)=1-x,且關(guān)于x的不等式f(x)≥g(x)的解集為[1,+∞),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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          若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在R上有三個零點(diǎn),且同時滿足:
          ①f(1)=0;
          ②f(x)在x=0處取得極大值;
          ③f(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù).
          (Ⅰ)當(dāng)a=-2時,求y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
          (Ⅱ)若g(x)=1-x,且關(guān)于x的不等式f(x)≥g(x)的解集為[1,+∞),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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          若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在R上有三個零點(diǎn),且同時滿足:
          ①f(1)=0;
          ②f(x)在x=0處取得極大值;
          ③f(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù).
          (Ⅰ)當(dāng)a=-2時,求y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
          (Ⅱ)若g(x)=1-x,且關(guān)于x的不等式f(x)≥g(x)的解集為[1,+∞),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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                                     2008年7月

          【課前預(yù)習(xí)】

          答案: 1、;  2、B.試題分析,可求得:。易知函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為

           3、;   4、-4。

          四.典例解析

          題型1:方程的根與函數(shù)零點(diǎn)

          例1. 分析:利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理或圖像進(jìn)行判斷。

          解析:(1)方法一:

          。

          方法二:

          解得,

          所以函數(shù)。

          (2)∵

               ∴。

          (3)∵,

                 ,

               ∴,故存在零點(diǎn)。

          評析:函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題常用的辦法有三種:一是定理;二是用方程;三是用圖像

           

          例2. 解析:(1)方法一令則根據(jù)選擇支可以求得<0;<0;>0.因?yàn)?sub><0可得零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)選C

          方法二:在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo),顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi),由此可排除A,D至于選B還是選C,由于畫圖精確性的限制,單憑直觀就比較困難了。實(shí)際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時,lgx=lg2,3-x=1。由于lg2<1,因此>2,從而判定∈(2,3),故本題應(yīng)選C

          (2)原方程等價(jià)于

          構(gòu)造函數(shù),作出它們的圖像,易知平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)情況可得:

          ①當(dāng)時,原方程有一解;

          ②當(dāng)時,原方程有兩解;

          ③當(dāng)時,原方程無解。

          點(diǎn)評:圖象法求函數(shù)零點(diǎn),考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結(jié)合,要在結(jié)合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計(jì),而且還要計(jì)算的鄰近兩個函數(shù)值,通過比較其大小進(jìn)行判斷

          題型2:零點(diǎn)存在性定理

          例3.解析:(1)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù),且

          當(dāng)x∈(-m,1-m)時,f (x)<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1-m)

          當(dāng)x∈(1-m, +∞)時,f (x)>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1-m)

          根據(jù)函數(shù)極值判別方法,f(1-m)=1-m為極小值,而且

          對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

          故當(dāng)整數(shù)m≤1時,f(x) ≥1-m≥0

          (2)證明:由(I)知,當(dāng)整數(shù)m>1時,f(1-m)=1-m<0,

          函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).

          由所給定理知,存在唯一的

          而當(dāng)整數(shù)m>1時,

          類似地,當(dāng)整數(shù)m>1時,函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號,由所給定理知,存在唯一的

          故當(dāng)m>1時,方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實(shí)根。

          點(diǎn)評:本題以信息給予的形式考察零點(diǎn)的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。

          例4. 解析:由零點(diǎn)存在性定理可知選項(xiàng)D不正確;對于選項(xiàng)B,可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在三個解”推翻;同時選項(xiàng)A可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在兩個解”;選項(xiàng)D正確,見實(shí)例“在區(qū)間上滿足,但其不存在實(shí)數(shù)解”。

          點(diǎn)評:該問題詳細(xì)介紹了零點(diǎn)存在性定理的理論基礎(chǔ)。

          題型3:二分法的概念

          例5. 解析:如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè),且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實(shí)根,二分法只可能求出其中的一個,只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解,二分法的實(shí)施滿足零點(diǎn)存在性定理,在區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn),甚至有可能得到函數(shù)的精確零點(diǎn)。

          點(diǎn)評:該題深入解析了二分法的思想方法。

           

          例6.解析:由四舍五入的原則知道,當(dāng)時,精度達(dá)到。此時差限是0.0005,選項(xiàng)為C。

          點(diǎn)評:該題考察了差限的定義,以及它對精度的影響。

          題型4:應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)和方程的近似解

          例7. 解析:原方程即。令

          用計(jì)算器做出如下對應(yīng)值表

          x

          -2

          -1

          0

          1

          2

          f(x)

          2.5820

          3.0530

          27918

          1.0794

          -4.6974

          觀察上表,可知零點(diǎn)在(1,2)內(nèi)

          取區(qū)間中點(diǎn)=1.5,且,從而,可知零點(diǎn)在(1,1.5)內(nèi);

          再取區(qū)間中點(diǎn)=1.25,且,從而,可知零點(diǎn)在(1.25,1.5)內(nèi);

          同理取區(qū)間中點(diǎn)=1.375,且,從而,可知零點(diǎn)在(1.25,1.375)內(nèi);

          由于區(qū)間(1.25,1.375)內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結(jié)果是1.3。

          點(diǎn)評:該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程,通過本題學(xué)會借助精度終止二分法的過程。

          例8. 分析:本例除借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外,你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)?

          略解:圖象在閉區(qū)間,上連續(xù)的單調(diào)函數(shù),在,上至多有一個零點(diǎn)。

          點(diǎn)評:①第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間,可利用函數(shù)性質(zhì),也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器,但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間,盡量縮短區(qū)間長度,通?纱_定一個長度為1的區(qū)間;

          ②建議列表樣式如下:

          零點(diǎn)所在區(qū)間

          中點(diǎn)函數(shù)值

          區(qū)間長度

          [1,2]

          >0

          1

          [1,1.5]

          <0

          0.5

          [1.25,1.5]

          <0

          0.25

          如此列表的優(yōu)勢:計(jì)算步數(shù)明確,區(qū)間長度小于精度時,即為計(jì)算的最后一步。

          題型5:一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點(diǎn)

          例9. 分析:從二次方程的根分布看二次函數(shù)圖像特征,再根據(jù)圖像特征列出對應(yīng)的不等式(組)。

          解析:(1)設(shè),

          ,知,

          (2)令

          ,

          ,∴,∴,

          綜上,

          評析:二次方程、二次函數(shù)、二次不等式三者密不可分。

          例10.解析:設(shè),則的二根為

          (1)由,可得  ,即,

                 兩式相加得,所以,

          (2)由, 可得  。

          ,所以同號。

          等價(jià)于

          ,

          即  

          解之得  。

          點(diǎn)評:條件實(shí)際上給出了的兩個實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間,因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化。

          【課外作業(yè)】

          1. 答案:A,令即可;

          2. 答案:B;

          3.答案:C,由可得關(guān)于對稱,∴,∴,∴,∵,∴。

          4、 答案:D, ∵,∴, ∴

          5. 答案:C,先求出,根據(jù)單調(diào)性求解;

          五.思維總結(jié)

          1.函數(shù)零點(diǎn)的求法:

          ①(代數(shù)法)求方程的實(shí)數(shù)根;

          ②(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。

          2.解決二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題要善于結(jié)合圖像,從判別式、韋達(dá)定理、對稱軸、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)、二次函數(shù)圖像的開口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的所有條件。函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切,聯(lián)系的方法就是數(shù)形結(jié)合。

           

           


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