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（本小題滿分14分）a 為常數(shù)，求函數(shù)的最大值。

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設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的導函數(shù)為f′(x)，f′(x)在區(qū)間D上的導函數(shù)為g(x)。若在區(qū)間D上，g(x)＜0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”。已知實數(shù)m是常數(shù)，，
（Ⅰ）若y=f(x)在區(qū)間[0，3]上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若對滿足|m|≤2的任何一個實數(shù)m，函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）上都為“凸函數(shù)”，求b-a的最大值。

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設(shè)函數(shù)f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n為正整數(shù)，a，b為常數(shù)，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y=1。
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）證明：f（x）＜。

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一、選擇題：本答題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把它選出來填涂在答題卡上。

1．A

2．D    對“若則”的否定已經(jīng)不是“四種命題”中的任何一種，而是表示“合取”命題；且非，即反設(shè)命題的結(jié)論不成立為非，選D。

3．B    因為，所以，當時，分母最小，從而最大為2，選B。

4．C

5．B    設(shè)等差數(shù)列的前三項為（其中），則

于是它的首項是2，選B

6．D    因為的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點，所以函數(shù)的圖像經(jīng)過點，于是，解得，選D

7．D    在直角坐標系中較準確地作出點A、B、C，并結(jié)合代值驗證，可知A、C兩點的坐標不滿足選擇支D的解析式，選D。

8．C    因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，又，故函數(shù)的周期為4，所以，選C

9．A    函數(shù)的定義域為（0，+），當≥1時，≥0，有；當時，，有，選A。

10．B    根據(jù)圖像可知，當時，函數(shù)圖像從左到右是上升的，表明對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，∴a、b均大于1，排除C、D。于是取＝2，得，有

，選B.

11．A

12．C    設(shè)，則B,有

，∴。由于A、B兩點在函數(shù)的圖象上，則＝1，∴，而點A又在函數(shù)的圖像上，∴，得，有，于是，選C。

13．

14．原式＝

15．由圖知車速小于90km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為（0.01+0.02+0.04）×10＝0.7，∴車速不小于90km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為1-0.7＝0.3。因此在這一時段內(nèi)通過該站的車速不小于90km/h的汽車有1000×0.3＝300輛。

16．（1）當時，

（2）當時，

（3）當時，

所以，在區(qū)間上，當時函數(shù)取得最小值

三、解答題：本答題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。

17．（本題滿分12分）

解法一 原不等式等價于

                     或

                                                   ………………12分

解法二 原不等式等價于

或

或

說明  本題是教材第一冊上頁習題1.5第5題：解不等式的改變，這是關(guān)于的二次雙連不等式，若轉(zhuǎn)化為兩個二次不等式組成的不等式組來解時，只要善于正確因式分解，數(shù)軸標根，也能快速解決。

18．∵，∴是奇函數(shù)。

∵，當時，是減函數(shù)，

∴在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù).                                   …………8分

.

故編號為①③的結(jié)論正確,編號為②的結(jié)論不正確                        ……12分

事實上，還有∵，∴。

本題是教材85頁4題、99頁例3、101頁6、7題102頁1題的綜合與改編。

19．（本題滿分12分）

設(shè)表示每臺的利潤，y表示周銷售量，則經(jīng)過了點（20，0），（0，35），

∴解得                     ………………4分

即或，其中

因此，商店一周中所獲利潤總額為：

每臺利潤×銷售量＝

                   ＝                ………8分

由于y是正整數(shù)，所以當周銷售量為y＝17或18時，利潤總額最大，為元，此時元或10.3元。               ………………12分

20．甲種水稻的平均畝產(chǎn)量為_甲＝

乙種水稻的平均畝產(chǎn)量為_乙＝

表明兩種水稻的平均畝產(chǎn)量相等。                                ……………6分

其方差為＝

＝

即有 >，這說明乙種水稻其畝產(chǎn)量較為穩(wěn)定……12分

21．（本題滿分12分）

（1）延長FE與AB交于點P，則

∵EP//BC，∴∽，

∴，即，∴，                  …………2分

在直角三角形AEP中，，，，

由勾股定理，得  （*）

即。                     ………………6分

∵  ∴（*）式成立的充要條件是，

所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為，        ……8分

（2）因為，等號當且僅當，即時取得，                                          ………10分

       所以正方形的面積當時取得最大值………12分

       若由得,

       所以即，

       等式右端分子有理化，得

       ∴∵∴，

整理，得與的函數(shù)關(guān)系式為（）

22．。                      ………………2分

若，則，知單調(diào)遞減，而，∴

若，令，則。

∵，則只需考慮的情況：

（1）當，即時，

若時，，則

若時，，則

∴_極大值＝。                      …9分

（2）當即時，∵，∴，

故，知是增函數(shù)，∴    ……12分

綜上所述，當時，的最大值為0；當，時，的最大值為；當時，的最大值為                  ……14分