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（1）若點A（a，b）（其中a≠b）在矩陣M=對應(yīng)變換的作用下得到的點為B（-b，a）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣；
（Ⅱ）求曲線C：x²+y²=1在矩陣N=所對應(yīng)變換的作用下得到的新的曲線C′的方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
（Ⅰ）以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位已知直線的極坐標(biāo)方程為，它與曲線為參數(shù)）相交于兩點A和B，求|AB|；
（Ⅱ）已知極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，若直線C₁的極坐標(biāo)方程為：，曲線C₂的參數(shù)方程為：（θ為參數(shù)），試求曲線C₂關(guān)于直線C₁對稱的曲線的直角坐標(biāo)方程．
（3）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）已知實數(shù)x、y、z滿足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

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本題有（1），（2），（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑．
（1）選修4-2：矩陣與變換
如圖所示：△OAB在伸縮變換M作用下變?yōu)椤鱋A₁B₁．
（i）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
（ii）求逆矩陣M^-1以及（M^-1）²⁰
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．
已知曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2sinθ y=cosθ

（θ為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為

x=2t y=t+1

（t為參數(shù)）
（i）若將曲線C₁與C₂上各點的橫坐標(biāo)都縮短為原來的一半，分別得到曲線C₁和C₂，求出曲線C₁和C₂的普通方程；
（ii）以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過極點且與C₂垂直的直線的極坐標(biāo)方程．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c為實數(shù)，且a+b+c+2-2m=0，a²+

b 2

4

+

c 2

9

+m-1=0
（i）求證：a²+

b 2

4

+

c 2

9

≥

(a+b+c) 2

14

（ii）求實數(shù)m的取值范圍．

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本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分，作答時，先在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣有特征值λ=-1及對應(yīng)的一個特征向量．
（Ⅰ）求距陣M；
（Ⅱ）設(shè)曲線C在矩陣M的作用下得到的方程為x²+2y²=1，求曲線C的方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線P在以該直角坐標(biāo)系的原點O的為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下的方程為p²-4pcosθ+3=0．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和曲線P的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C和曲線P的交點為A、B，求|AB|．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立．
（Ⅰ）求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）記t的最大值為T，若正實數(shù)a、b、c滿足a²+b²+c²=T，求a+2b+c的最大值．

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必做部分

1.  2.  3.   4.2.6   5.   6.640+80π    7.    8.①④   9. 10.

11.“,使得且”  12.  13.6  14.9

(12.圖13.作則因,故,)

15.（1）取AB的中點G，則易證得A₁G∥D₁F．

又正方形A₁ABB₁中，E、G分別是相應(yīng)邊的中點，

∴A₁G⊥AE，∴D₁F⊥AE．

（2）由正方體可知：A₁ D₁⊥面A₁ABB₁，∴A₁D₁⊥AE ．

又由（1）已證：D₁F⊥AE．

∵A₁D₁∩D₁F= D₁，∴AE⊥平面A₁FD₁ ．

又平面AED，∴平面AED⊥平面A₁FD₁ ．

16.（1）全班32名學(xué)生中，有15名女生，17名男生．在偽代碼中，根據(jù)“S←S/15，T←T/17”可以推知，“k=1”和“k=0”分別代表男生和女生；S，T，A分別代表女生、男生及全班成績的平均分；橫線①處應(yīng)填“（S+T）/32”．

（2）女生、男生及全班成績的平均分分別為S=78，T=76.88，A≈77.4.

（3）15名女生成績的平均分為78，17名男生成績的平均分為77.88．從中可以看出女生成績比較集中，整體水平稍高于男生；男生中的高分段比女生高，低分段比女生多，相比較男生兩極分化比較嚴(yán)重．

17.（1）

.，由題意可知

解得.

（2）由（Ⅰ）可知的最大值為1，.

，. 而，.

由余弦定理知，，聯(lián)立解得 .

18.（1）設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為 得, 根據(jù)韋達(dá)定理，得

 ∴線段AB的中點坐標(biāo)為().

 由已知得

 故橢圓的離心率為.

（2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線：的對稱點為解得.由已知得 ，故所求的橢圓方程為.

19.(1)方法一：.由題設(shè)，得,  ①

.    ②

∵，∴，∴.

由①代入②得，∴，

得∴或.   ③

將代入中，得.  ④

由③、④得；

方法二：∵，∴，∴.

同上可得將（1）變?yōu)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/becb6ffa963118610bea4232cfd75ff5.zip/73200/江蘇省前黃高級中學(xué)2008屆高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷.files/image330.gif" >代入（2）可得 ，所以，則.

方法三：同上可得將（1）變?yōu)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/becb6ffa963118610bea4232cfd75ff5.zip/73200/江蘇省前黃高級中學(xué)2008屆高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷.files/image322.gif" >代入（2）可得，顯然，所以.

因為圖象的開口向下，且有一根為x₁=1,

由韋達(dá)定理得,.

,所以，即，則，

由得 ,所以 .

 (2)由（1）知，的判別式Δ=

∴方程有兩個不等的實根，

又,∴，

∴當(dāng)或時，；當(dāng)時，.

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是， .

由知.

∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，

∴，即的取值范圍是.

(3)由，即，∵，

，∴，∴或.(自注：視為的一次函數(shù))

由題意，得，∴.

∴存在實數(shù)滿足條件，即的最小值為.

20.（1）由于，則，

∴，∴.

（2）由于，由（1），則，，

而，則，∴；

    又,

   ∴.

,

∴.

而，且，故, ∴，因此.

從而

選做部分

1. (1)設(shè)事件表示“甲選做14題”,事件表示“乙選做14題”,則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“”,且事件、相互獨立.

∴ =.

(2)隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4.且.

∴ .

所以變量的分布列為：

0

1

2

3

4

. (或)

2.以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz，則有

D(0，3，0)、D₁(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C₁(4，3，2)．

于是 ,．

（1）設(shè)EC₁與FD₁所成角為b，則．

（2）設(shè)向量與平面C₁DE垂直，則有

．

∴其中z＞0．

取n₀=(-1，-1，2)，則n₀是一個與平面C₁DE垂直的向量．

∵向量=（0，0，2）與平面CDE垂直，

∴n₀與所成的角θ為二面角C-DE-C₁的平面角．

∵，∴．

3.（1）設(shè)M=，則=8=，故

    =，故

聯(lián)立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．

（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為，故其另一個特征值為.設(shè)矩陣M的另一個特征向量是e₂，則M e₂=，解得.

（3）設(shè)點是直線上的任一點，其在矩陣M的變換下對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則

=，即，

代入直線的方程后并化簡得,即.

4.（1）拋物線焦點為（1，0）.

設(shè)：消去x得

,

則,

=.

（2）設(shè)：消去x，得.

,則y₁+y₂=4t ,y₁y₂=－4b.

=.

令，∴直線l過定點(2，0).