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設(shè)雙曲線的兩個焦點分別為、，離心率為2．

（1）求雙曲線的漸近線方程；

（2）過點能否作出直線，使與雙曲線交于、兩點，且，若存在，求出直線方程，若不存在，說明理由．

【解析】(1)根據(jù)離心率先求出a²的值，然后令雙曲線等于右側(cè)的1為0，解此方程可得雙曲線的漸近線方程.

（2）設(shè)直線l的方程為,然后直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示此條件，得到關(guān)于k的方程，解出k的值，然后驗證判別式是否大于零即可.

 

設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上且異于兩點，為坐標(biāo)原點.

（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若，證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解：設(shè)點P的坐標(biāo)為.由題意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以橢圓的離心率

（2）證明：（方法一）

依題意，直線OP的方程為，設(shè)點P的坐標(biāo)為.

由條件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依題意，直線OP的方程為，設(shè)點P的坐標(biāo)為.

由P在橢圓上，有

因為，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.

 

從方程

x=2t y=t-3

中消去t，此過程如下：
由x=2t得t=

x

2

，將t=

x

2

代入y=t-3中，得到y=

1

2

x-3．
仿照上述方法，將方程

x=3cosα y=2sinα

中的α消去，并說明它表示什么圖形，求出其焦點．

過拋物線的對稱軸上的定點，作直線與拋物線相交于兩點．

（I）試證明兩點的縱坐標(biāo)之積為定值；

（II）若點是定直線上的任一點，試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系，并給出證明.

【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力．

（1）中證明：設(shè)下證之：設(shè)直線AB的方程為: x=ty+m與y²=2px聯(lián)立得消去x得y²=2pty-2pm=0，由韋達(dá)定理得 

 (2)中：因為三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列，下證之

設(shè)點N（-m,n），則直線AN的斜率K_AN=，直線BN的斜率K_BN=

  

K_AN+K_BN=+

本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力．

 

從方程中消去t，此過程如下：
由x=2t得，將代入y=t-3中，得到．
仿照上述方法，將方程中的α消去，并說明它表示什么圖形，求出其焦點．