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已知函數(shù)f(x)=

a

x

+x+(a-1)lnx+15a，F(xiàn)（x）=2x³-3（2a+3）x²+12（a+1）x+12a+2，其中a＜0且a≠-1．
（Ⅰ） 當(dāng)a=-2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 若x=-1時(shí)，函數(shù)F（x）有極值，求函數(shù)F（x）圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=

F(x)，x≤1 f(x)，x＞1

（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是否存在a使g（x）在[a，-a]上為減函數(shù)，若存在，求實(shí)數(shù)a的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（2009•金山區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=x²+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）請(qǐng)先閱讀下列材料，然后回答問題．
材料：已知函數(shù)g（x）=-

1

f(x)

，問函數(shù)g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由．一個(gè)同學(xué)給出了如下解答：
解：令u=-f（x）=-x²-x，則u=-（x+

1

2

）²+

1

4

，
當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，u有最大值，u_max=

1

4

，顯然u沒有最小值，
∴當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，g（x）有最小值4，沒有最大值．
請(qǐng)回答：上述解答是否正確？若不正確，請(qǐng)給出正確的解答；
（3）設(shè)a_n=

f(n)

2n-1

，請(qǐng)?zhí)岢龃藛栴}的一個(gè)結(jié)論，例如：求通項(xiàng)a_n．并給出正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨(dú)給分，．解答也單獨(dú)給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應(yīng)給分，如果同時(shí)提出兩個(gè)問題，則就高不就低，解答也相同處理．

（2012•四川）已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y=-x2+

an

2

與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，設(shè)f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求對(duì)所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的a的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，比較

n

k=1

1

f(k)-f(2k)

與

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

的大小，并說明理由．

對(duì)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，使得

1

f(x)

=

1

a

(

A

x-x1

+

B

x-x2

)（其中A，B為常數(shù)），則稱f（x））=ax²+bx+c（a≠0）為“可分解函數(shù)”．
（1）試判斷f（x）=x²+3x+2是否為“可分解函數(shù)”，若是，求出A，B的值；若不是，說明理由；
（2）用反證法證明：f（x）=x²+x+1不是“可分解函數(shù)”；
（3）若f（x）=ax²+ax+4（a≠0），是“可分解函數(shù)”，則求a的取值范圍，并寫出A，B關(guān)于a的相應(yīng)的表達(dá)式．