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          題目列表(包括答案和解析)

          如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

          (Ⅰ)證明PC⊥AD;

          (Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

          (Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.

           

          【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

          (1)證明:易得,于是,所以

          (2) ,設(shè)平面PCD的法向量,

          ,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

          所以二面角A-PC-D的正弦值為.

          (3)設(shè)點E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.

          ,故 

          所以,,解得,即.

          解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.

          (2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.

          因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

          因此所以二面角的正弦值為.

          (3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點為F,連接BE,EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

          中,由,,

          可得.由余弦定理,,

          所以.

           

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          在解決問題:“證明數(shù)集沒有最小數(shù)”時,可用反證法證明.

          假設(shè)中的最小數(shù),則取,可得:,與假設(shè)中“中的最小數(shù)”矛盾! 那么對于問題:“證明數(shù)集沒有最大數(shù)”,也可以用反證法證明.我們可以假設(shè)中的最大數(shù),則可以找到   ▲   (用,表示),由此可知,,這與假設(shè)矛盾!所以數(shù)集沒有最大數(shù).

           

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          在解決問題:“證明數(shù)集A={x|2<x≤3}沒有最小數(shù)”時,可用反證法證明.假設(shè)a(2<a≤3)是A中的最小數(shù),則取,可得:,與假設(shè)中“a是A中的最小數(shù)”矛盾!那么對于問題:“證明數(shù)集沒有最大數(shù)”,也可以用反證法證明.我們可以假設(shè)是B中的最大數(shù),則可以找到x'=    (用m,n表示),由此可知x'∈B,x'>x,這與假設(shè)矛盾!所以數(shù)集B沒有最大數(shù).

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          在解決問題:“證明數(shù)集A={x|2<x≤3}沒有最小數(shù)”時,可用反證法證明.假設(shè)a(2<a≤3)是A中的最小數(shù),則取,可得:,與假設(shè)中“a是A中的最小數(shù)”矛盾!那么對于問題:“證明數(shù)集沒有最大數(shù)”,也可以用反證法證明.我們可以假設(shè)是B中的最大數(shù),則可以找到x'=    (用m,n表示),由此可知x'∈B,x'>x,這與假設(shè)矛盾!所以數(shù)集B沒有最大數(shù).

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          在解決問題:“證明數(shù)集A={x|2<x≤3}沒有最小數(shù)”時,可用反證法證明.假設(shè)a(2<a≤3)是A中的最小數(shù),則取,可得:,與假設(shè)中“a是A中的最小數(shù)”矛盾!那么對于問題:“證明數(shù)集沒有最大數(shù)”,也可以用反證法證明.我們可以假設(shè)是B中的最大數(shù),則可以找到x'=    (用m,n表示),由此可知x'∈B,x'>x,這與假設(shè)矛盾!所以數(shù)集B沒有最大數(shù).

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