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如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

 

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量，

則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

在解決問題：“證明數(shù)集沒有最小數(shù)”時，可用反證法證明．

假設是中的最小數(shù)，則取，可得：，與假設中“是中的最小數(shù)”矛盾！ 那么對于問題：“證明數(shù)集沒有最大數(shù)”，也可以用反證法證明．我們可以假設是中的最大數(shù)，則可以找到   ▲   （用，表示），由此可知，，這與假設矛盾！所以數(shù)集沒有最大數(shù)．

 

在解決問題：“證明數(shù)集A={x|2＜x≤3}沒有最小數(shù)”時，可用反證法證明．假設a（2＜a≤3）是A中的最小數(shù)，則取，可得：，與假設中“a是A中的最小數(shù)”矛盾！那么對于問題：“證明數(shù)集沒有最大數(shù)”，也可以用反證法證明．我們可以假設是B中的最大數(shù)，則可以找到x'=    （用m，n表示），由此可知x'∈B，x'＞x，這與假設矛盾！所以數(shù)集B沒有最大數(shù)．

在解決問題：“證明數(shù)集A={x|2＜x≤3}沒有最小數(shù)”時，可用反證法證明．假設a（2＜a≤3）是A中的最小數(shù)，則取，可得：，與假設中“a是A中的最小數(shù)”矛盾！那么對于問題：“證明數(shù)集沒有最大數(shù)”，也可以用反證法證明．我們可以假設是B中的最大數(shù)，則可以找到x'=    （用m，n表示），由此可知x'∈B，x'＞x，這與假設矛盾！所以數(shù)集B沒有最大數(shù)．

在解決問題：“證明數(shù)集A={x|2＜x≤3}沒有最小數(shù)”時，可用反證法證明．假設a（2＜a≤3）是A中的最小數(shù)，則取，可得：，與假設中“a是A中的最小數(shù)”矛盾！那么對于問題：“證明數(shù)集沒有最大數(shù)”，也可以用反證法證明．我們可以假設是B中的最大數(shù)，則可以找到x'=    （用m，n表示），由此可知x'∈B，x'＞x，這與假設矛盾！所以數(shù)集B沒有最大數(shù)．