題目列表(包括答案和解析)
| A、24種 | B、60種 | C、90種 | D、120種 |
一、選擇題:
A卷：CCABD BDCBB AA
二、填空題：
(13)
(14)
(15)
(16) 
三、解答題：
(17)解：
由
，知
，又
，由正弦定理，有
，∴
，
，……3分
∴
……………5分
…………8分
∵
，
， ∴
，
故所求函數為
，函數的值域為
……………10分
（18）解：
記顧客購買一件產品，獲一等獎為事件
，獲二等獎為事件
，不獲獎為事件
，則
，
，
（Ⅰ）該顧客購買2件產品，中獎的概率
……………4分
（Ⅱ）
的可能值為0，20，40，100，120，200，其中
，
，
，
，
，
……………8分
的分布列為
……………10分
的期望
（元）…………………………………………………………………12分
（19）解法一：
（Ⅰ）取
中點
，連結
、
，則
，
又
，
∴
，四邊形
是平行四邊形，
∴
，又
，
，
∴
……………………………………………………4分
（Ⅱ）連結
∵
， ∴
，
又平面
平面
，∴
而
， ∴
作
于
，則
，且
，為
的中點。
作
于
，連結
，則
，
于是
為二面角
的平面角。…………………………8分
∵
，
，∴
，
在正方形中，作
于
，則
，
∴
，∴
。
故二面角的大小為
…………………………12分
 |
解法二：如圖，以
為原點，建立空間直角坐標系，使
軸，
、
分別在
軸、
軸上。
（Ⅰ）由已知，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
又
，∴ ………………………………………4分
（Ⅱ）設
為面
的法向量，則
，且
。
∵
，，
∴
，取
，
，
，則
……………8分
又
為面
的法向量，所以
，
因為二面角為銳角，所以其大小為
…………………………12分
（20）解：
（Ⅰ）
……………………………………………………1分
（1）當
時，由
，知
，
在
單調遞增
而
，則
不恒成立…………………………3分
（2）當
時，令
，得
當
時，
，單調遞增；
時，
，單調遞減，在處取得極大值。
由于
，所以
，解得，即當且僅當時恒成立。
綜上，所求
的值為 …………………………7分
（Ⅱ）
等價于
，
下證這個不等式成立。
由（Ⅰ）知
，即
，
……………9分
∴
…………………………12分
（21）解：
（Ⅰ）曲線
方程可寫為
，
設
，則
，又設
、
、
曲線在點處的切線斜率
，則切線
方程為
，
即
，亦即
…………………………3分
分別將、
坐標代入切線方程得
，
∴
，
由
，得
， ①
， ②
∴
……………7分
∵
，∴
，
則由②式得
。
從而曲線
的方程為
…………………………8分
（Ⅱ）軸與曲線、交點分別為
、
，此時
……9分
當
、
不在軸上時，設直線
方程為
。
若
，則、在第一象限，
由
，得
，由
得
，
∴………………………………………11分
因為曲線和都關于軸對稱，所以當
時，仍有
綜上，題設的
為定值
…………………………12分
（22）解：
（Ⅰ）由
，且
，得
當
時，
，解得
；
當
時，
，解得
猜想：
……………………………………………………2分
用數學歸納法證明如下
（1） 當時，命題顯然成立�！�3分
（2） 假設當
時命題成立，即
，那么
由
，得
于是，當
時命題仍然成立………………………………………6分
根據（1）和（2），對任何
，都有…………………………7分
（Ⅱ）當
時，
，且對于也成立。
因此，
對于，由
，得
，……………10分
，
綜上，
………………………………………12分
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