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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分，請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，
AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過點(diǎn)M且不過圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點(diǎn)共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e₁=[

1 1

]，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2

2

sin（θ-

π

4

），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數(shù)），求直線l被曲線C所截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

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A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，
AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過點(diǎn)M且不過圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點(diǎn)共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e₁=[]，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2sin（），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求直線l被曲線C所截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分，請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，
AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過點(diǎn)M且不過圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點(diǎn)共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e₁=[]，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2sin（），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求直線l被曲線C所截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

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1．；   2.   2.   3.200   4. 3      5．  6.     7．

8．6  9．；  10.    11.1005    12.4    13.  1    14．

15．解： (1)．如圖，，

    　　即．

   （2）．在中，由正弦定理得

　　　　由(1)得，

　　　　即．

16．解：(Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

        ∴，∴；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

       同理可得

       ∵，∴

      ∵平面ABC，∴PA⊥BC. 

(Ⅱ)  如圖所示取PC的中點(diǎn)G，

連結(jié)AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點(diǎn)

      又D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，

∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F……………7分 

      ∴面ABG∥面DEF           

即PC上的中點(diǎn)G為所求的點(diǎn)                  …………… 9分

(Ⅲ)

17．解：（1）由題意得，  

整理得，解得， 

所以“學(xué)習(xí)曲線”的關(guān)系式為． 

（2）設(shè)從第個(gè)單位時(shí)間起的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的平均學(xué)習(xí)效率為，則

令，則，  

顯然當(dāng)，即時(shí)，最大， 

將代入，得，

所以，在從第3個(gè)單位時(shí)間起的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的平均學(xué)習(xí)效率最高．

18. 解：（1）由題可得，，設(shè)

則，，……………………2分

∴，∵點(diǎn)在曲線上，則，∴，從而，得.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. ……………………5分

（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為，………6分

則BP的直線方程為：.由得 ，設(shè)，則，

同理可得，則，. ………………9分

所以：AB的斜率為定值. ………………10分

（3）設(shè)AB的直線方程：.

由，得，

由，得

P到AB的距離為，………………12分

則

。

當(dāng)且僅當(dāng)取等號

∴三角形PAB面積的最大值為。………………14分

19.解: (1)依題意有,于是.

所以數(shù)列是等差數(shù)列.                      　　　　　　　　.4分

(2)由題意得,即 , ()         ①

所以又有.                        ②   

由②①得：,　所以是常數(shù)．　　　　　　　

由都是等差數(shù)列.

，那么得    ,

.    (   

故                           　　 1０分

(3) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,所以

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),所以   　　　　

作軸,垂足為則,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須：.                  　　　　　　　　　　　

當(dāng)為奇數(shù)時(shí),有,即        ①

， 當(dāng)時(shí)，. 不合題意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),有 ，,同理可求得  .

；；當(dāng)時(shí)，不合題意．

綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值為

；；��；16分

20⑴當(dāng)x≥1時(shí)，只需2+a≥0即a≥-2

⑵作差變形可得：

=  (*)

x₁>0，x₂>o  從而

∴l(xiāng)n,又a<0   ∴（*）式≥0

即(當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時(shí)取“=”號)

 （3）可化為：

 x ∴l(xiāng)nx≤1≤x,因等號不能同時(shí)取到，∴l(xiāng)nx<x,lnx―x<0

∴a≥

令, x ,

=

 x,∴l(xiāng)nx―1―<0，且1―x≤0

從而，,所以g(x)在x上遞增，從而=g(1)= ―

由題設(shè)a≥―

即存在x，不等式f(x)≤(a+3)―能成立且a

21.A解（1）利用△CDO≌△BCM，可證MB=OC=AB

（2）由△PMB∽△BMC，得,∴BP=

B、設(shè)M=，則=8=，故

       =，故

聯(lián)立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．

C.求直線（）被曲線所截的弦長，將方程，分別化為普通方程：

，………(5分)

 D．解：由柯西不等式可得

22、解析：（1）記“”為事件A， （）的取值共有10種情況，…………1分

滿足的（）的取值有以下4種情況：

（3，2），（4，2），（5，2），（5，4），

所以；

（2）隨機(jī)變量的取值為2，3，4，5，的分布列是

2

3

4

5

P

               …………10分

所以的期望為

23、解：（1）由得

∵在數(shù)列中，∴，∴

故數(shù)列中的任意一項(xiàng)都小于1

（2）由（1）知，那么，

由此猜想：（n≥2）.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立；

②當(dāng)n=k時(shí)（k≥2,k∈N）時(shí)，假設(shè)猜想正確，即，

那么，

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也正確

綜上所述，對于一切，都有。