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已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

 （n∈N^*），用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式f（2ⁿ）＞

n

2

時(shí)，f（2^k+1）比f(wàn)（2^k）多的項(xiàng)數(shù)是．

（2012•濟(jì)南三模）設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f^′（x）表示f（x）導(dǎo)函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，anf′(an)

=a

2 n+1

-3．證明：數(shù)列{

a

2 n

}中不存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)；
（Ⅲ）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)bn=

1

2

f′(n)-n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明不等式(1+bn)

1

bn+1

＞e對(duì)一切正整數(shù)n均成立，并比較S₂₀₁₂-1與ln2012的大�。�

設(shè)f(x)=lnx-

x-a

x

(其中a＞0)，g(x)=2(x-1)-(x2+1)lnx．
（1）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（2）已知f（x）和g（x）在[1，+∞）上單調(diào)性一致，求a的取值范圍；
（3）設(shè)b＞1，證明不等式

2

1+b2

＜

lnb

b-1

＜

1

b

．