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如圖，已知：橢圓M的中心為O，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，AF=5BF．若橢圓M經(jīng)過點(diǎn)C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1，試證明：當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

（2010•江蘇模擬）已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1．試證明當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在x軸上、半徑為2的圓C位于y軸右側(cè)，且與直線x-

3

y+2=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）在圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（2012•廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2 3

，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．