題目列表(包括答案和解析)
歐拉(Euler)，瑞士數(shù)學家及自然科學家．1707年4月15日出生于瑞士的巴塞爾，1783年9月18日于俄國彼得堡去逝．歐拉出生于牧師家庭，自幼受父親的教育，13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業(yè)，16歲獲碩士學位．
歐拉是18世紀數(shù)學界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學界做出了巨大的貢獻，更把數(shù)學推至幾乎整個物理的領域．他是數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數(shù)學中的經(jīng)典著作．
歐拉對數(shù)學符號的創(chuàng)立及推廣起了積極的作用．比如用e表示自然對數(shù)的底，用i表示－1，用f(x)作為函數(shù)的符號，π雖不是歐拉首先提出的，但是在歐拉倡導下推廣普及的．尤為不可思議的是歐拉將數(shù)學中最為活躍的五個數(shù)1，0，π，e，i竟用一個美妙絕倫的公式聯(lián)系了起來：eiπ＋1＝0(歐拉指數(shù)公式)，在西方數(shù)學界甚至認為此公式不亞于神的力量．
歐拉對數(shù)學的研究如此廣泛，因此在許多數(shù)學的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理．
1．你對歐拉(Euler)了解嗎？請查閱歐拉(Euler)的故事，對于他“13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業(yè)，16歲獲碩士學位”，你有何感觸？
2．作為新時代的青年，你做好將來為科學事業(yè)做貢獻的思想準備了嗎？
把函數(shù)
的圖象按向量
平移得到函數(shù)
的圖象．
(1)求函數(shù)的解析式； (2)若
，證明：
.
【解析】本試題主要考查了函數(shù) 平抑變換和運用函數(shù)思想證明不等式。第一問中，利用設上任意一點為（x,y）則平移前對應點是（x+1,y-2）代入 ，便可以得到結(jié)論。第二問中，令
，然后求導，利用最小值大于零得到。
(1)解：設上任意一點為（x,y）則平移前對應點是（x+1,y-2）代入 得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以
．……4分
(2) 證明：令，……6分
則
……8分
,∴
,∴
在
上單調(diào)遞增．……10分
故
，即
設拋物線
：
（
＞0）的焦點為
，準線為
，
為上一點，已知以為圓心，
為半徑的圓交于
,
兩點.
(Ⅰ)若
,
的面積為
，求的值及圓的方程；
(Ⅱ)若，，三點在同一條直線
上，直線
與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到，距離的比值.
【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點到直線距離公式、線線平行等基礎知識，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力.
【解析】設準線于
軸的焦點為E，圓F的半徑為
，
則|FE|=，
=，E是BD的中點，
(Ⅰ) ∵，∴=
，|BD|=
，
設A(
，
)，根據(jù)拋物線定義得，|FA|=
，
∵的面積為，∴
=
=
=，解得=2，
∴F(0,1), FA|=
， ∴圓F的方程為：
；
(Ⅱ) 解析1∵，，三點在同一條直線上, ∴
是圓的直徑，
,
由拋物線定義知
，∴
，∴的斜率為
或－，
∴直線的方程為：
，∴原點到直線的距離
=
，
設直線的方程為：
，代入得，
，
∵與只有一個公共點，
∴
=
，∴
，
∴直線的方程為：
，∴原點到直線的距離
=
，
∴坐標原點到，距離的比值為3.
解析2由對稱性設
，則
點
關(guān)于點對稱得：
得：
，直線
切點
直線
坐標原點到
距離的比值為
為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做實驗，將這200只家兔隨機地分成兩組。每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B。下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的實驗結(jié)果。（皰疹面積單位：
）
表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
|
皰疹面積 |
|
|
|
|
|
頻數(shù) |
30 |
40 |
20 |
10 |
|
頻率/組距 |
|
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|
|
表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
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皰疹面積 |
|
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頻數(shù) |
10 |
25 |
20 |
30 |
15 |
|
頻率/組距 |
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|
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|
（1） 完成上面兩個表格及下面兩個頻率分布直方圖；
（2）完成下面
列聯(lián)表，并回答能否有99.9％的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”。 (結(jié)果保留4位有效數(shù)字)
|
|
皰疹面積小于70 |
皰疹面積不小于70 |
合計 |
|
注射藥物A |
a= |
b= |
|
|
注射藥物B |
c= |
d= |
|
|
合計 |
|
|
n= |
附：
|
P（K2≥k） |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.001 |
|
k |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
10.828 |
;
【解析】根據(jù)已知條件，得到列聯(lián)表中的a,b,c,d的值，代入已知的公式中
然后求解值，判定兩個分類變量的相關(guān)性。
解：
由于K2≥10.828，所以有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”
17世紀，科學家們致力于運動的研究，如計算天體的位置，遠距離航海中對經(jīng)度和緯度的測量，炮彈的速度對于高度和射程的影響等．諸如此類的問題都需要探究兩個變量之間的關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系對事物的變化規(guī)律作出判斷，如根據(jù)炮彈的速度推測它能達到的高度和射程．這正是函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景．
“function”一詞最初由德國數(shù)學家萊布尼茲(G．W．Leibniz，1646～1716)在1692年使用．在中國，清代數(shù)學家李善蘭(1811～1882)在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代徽積拾級》中首次將“function”譯做“函數(shù)”．
萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標、切線等．1718年，他的學生，瑞士數(shù)學家約翰·伯努利(J．Bernoulli，1667～1748)強調(diào)函數(shù)要用公式表示．后來，數(shù)學家認為這不是判斷函數(shù)的標準．只要一些變量變化，另一些變量隨之變化就可以了．所以，1755年，瑞士數(shù)學家歐拉(L．Euler，1707～1783)將函數(shù)定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”．
當時很多數(shù)學家對于不用公式表示函數(shù)很不習慣，甚至抱懷疑態(tài)度．函數(shù)的概念仍然是比較模糊的．
隨著對微積分研究的深入，18世紀末19世紀初，人們對函數(shù)的認識向前推進了．德國數(shù)學家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805～1859)在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)”．這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應就行了，不管這個法則是公式、圖象、表格還是其他形式．19世紀70年代以后，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念又進而用更加嚴謹?shù)募虾蛯Z言表述，這就是本節(jié)學習的函數(shù)概念．
綜上所述可知，函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學技術(shù)的實際需要緊密相關(guān)，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴謹化、精確化的表達，這與我們學習函數(shù)的過程是一樣的．
你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景，談談從初中到高中學習函數(shù)概念的體會嗎？
1．探尋科學家發(fā)現(xiàn)問題的過程，對指導我們的學習有什么現(xiàn)實意義？
2．萊布尼茲、狄利克雷等科學家有哪些品質(zhì)值得我們學習？
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