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已知函數(shù)f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當時單調遞減；當時單調遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當.　　　　　　　�、�

令則

當時，單調遞增；當時，單調遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當時，單調遞減；當時，單調遞增.故當，即

從而，又

所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學方法.第一問利用導函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質進行分析判斷.

 

已知函數(shù)；

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

（2）若函數(shù)，若在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，求實數(shù)的取值范圍。

【解析】第一問中，利用導數(shù)，因為在其定義域內(nèi)的單調遞增函數(shù)，所以 內(nèi)滿足恒成立，得到結論第二問中，在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，等價于不等式 在[1，e]上有解，轉換為不等式有解來解答即可。

解：（1），

因為在其定義域內(nèi)的單調遞增函數(shù)，

所以 內(nèi)滿足恒成立，即恒成立，

亦即，

即可  又

當且僅當，即x=1時取等號，

在其定義域內(nèi)為單調增函數(shù)的實數(shù)k的取值范圍是.

（2）在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，等價于不等式 在[1，e]上有解，設

 上的增函數(shù)，依題意需

實數(shù)k的取值范圍是

 

已知函數(shù) R)．

（Ⅰ）若 ，求曲線  在點  處的的切線方程；

（Ⅱ）若  對任意  恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

第一問中，利用當時，．

因為切點為（）， 則，                 

所以在點（）處的曲線的切線方程為：

第二問中，由題意得，即即可。

Ⅰ）當時，．

，                                  

因為切點為（）， 則，                  

所以在點（）處的曲線的切線方程為：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由題意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）

，           

因為，所以恒成立，

故在上單調遞增，                            ……12分

要使恒成立，則，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）當時，在上恒成立，

故在上單調遞增，

即．                  ……10分

（2）當時，令，對稱軸，

則在上單調遞增，又    

① 當，即時，在上恒成立，

所以在單調遞增，

即，不合題意，舍去  

②當時，， 不合題意，舍去 14分

綜上所述： 

 

（13分）已知數(shù)列滿足：

  （1）求的通項公式；

  （2）數(shù)列滿足：，那么是否存在正整數(shù)，使恒成立，若

存在求出的最小值，若不存在請說明理由.　

（本題滿分14分）

已知函數(shù)()，.

（Ⅰ）當時，解關于的不等式：；

（Ⅱ）當時，記，過點是否存在函數(shù)圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由；

（Ⅲ）若是使恒成立的最小值，對任意，

試比較與的大小(常數(shù)).