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        1. 分析 本題考查當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)的極限.若把x=1代入分子.分母中,分式變成“ 型,不能直接求極限,因此可把分子.分母分別進(jìn)行因式分解,約去分子.分母中的“零因式 ,然后再代入求極限. 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

          (1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

          (2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

          【解析】解:.

          當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值

          于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng).        ①

          當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.

          故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.

          綜上所述,的取值集合為.

          (Ⅱ)由題意知,

          ,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),

          從而,

          所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

          【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

           

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          如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花園AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且對角線MN過C點(diǎn),|AB|=3米,|AD|=2米,

          (I)要使矩形AMPN的面積大于32平方米,則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?

          (II)當(dāng)AN的長度是多少時(shí),矩形AMPN的面積最小?并求出最小面積.

          (Ⅲ)若AN的長度不少于6米,則當(dāng)AN的長度是多少時(shí),矩形AMPN的面積最?并求出最小面積.

          【解析】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)及均值不等式的應(yīng)用等,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力   第一問要利用相似比得到結(jié)論。

          (I)由SAMPN > 32 得 > 32 ,

          ∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0

          ∴2<X<8/3,即AN長的取值范圍是(2,8/3)或(8,+)

          第二問,  

          當(dāng)且僅當(dāng)

          (3)令

          ∴當(dāng)x > 4,y′> 0,即函數(shù)y=在(4,+∞)上單調(diào)遞增,∴函數(shù)y=在[6,+∞]上也單調(diào)遞增.                

          ∴當(dāng)x=6時(shí)y=取得最小值,即SAMPN取得最小值27(平方米).

           

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          假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)y(萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料:

          x

          2

          3

          4

          5

          6

          y

          2.2

          3.8

          5.5

          6.5

          7.0

          若由資料知,y對x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求:

          (1)線性回歸方程;

          (2)估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用約是多少?思路分析:本題考查線性回歸方程的求法和利用線性回歸方程求兩變量間的關(guān)系.

          解:(1)

          i

          1

          2

          3

          4

          5

          xi

          2

          3

          4

          5

          6

          yi

          2.2

          3.8

          5.5

          6.5

          7.0

          xiyi

          4.4

          11.4

          22.0

          32.5

          42.0

          b==1.23,

          a=-b=5-1.23×4=0.08.

          所以,回歸直線方程為=1.23x+0.08.

          (2)當(dāng)x=10時(shí),=1.23×10+0.08=12.38(萬元),

          即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)約為12.38萬元.

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          同步練習(xí)冊答案