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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)：．

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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結(jié)果證明C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1；  
（Ⅲ）其實(shí)我們常借用構(gòu)造等式，對(duì)同一個(gè)量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）¹+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=；，由左邊可求得x²的系數(shù)為C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²，利用右式可得x²的系數(shù)為C_n+1³，所以C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²=C_n+1³．請(qǐng)利用此方法證明：（C_2n）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ．

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一、選擇題：每小題5分，滿分60分.

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

A

A

C

D

B

A

C

C

A

D

B

二、填空題：每小題4分，滿分16分.

13．　

14．　1359

15．　

16．

三、解答題

17．解：(Ⅰ) 0.525                                                                           ……… 4分

(Ⅱ)

0

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

P

                                                                             ………12分

18．解：（Ⅰ）由，得，；

                       所以數(shù)列只有三項(xiàng)：，，     ……… 3分

（Ⅱ）由題設(shè)，解得或

即當(dāng)或時(shí)得到無窮的常數(shù)列或；……… 6分

（Ⅲ）解不等式，得或                     ……… 9分

　　　當(dāng)時(shí)，，

　　　，與矛盾；

　　　當(dāng)時(shí)，，依此類推，可得

綜上，                                                                     ………12分

19．解：（Ⅰ）由幾何體的三視圖可知，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，面，

       ∥，．為的中點(diǎn)，

       又面            ……… 4分

   （Ⅱ）取的中點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，∥，

       ∥，故BEMN為平行四邊形

       ∥∥面                                                  ……… 8分

   （Ⅲ）分別以為軸建立坐標(biāo)系，

       則，，

為的中點(diǎn)，

       面為面的法向量，，

       設(shè)平面的法向量為，

       則

       ，與的夾角為          ………11分

面與面所成的二面角（銳角）的余弦值為             ………12分

20．解：（Ⅰ）設(shè)，由題設(shè)得，整理得其中，

故點(diǎn)A的軌跡（含點(diǎn)B、C）M方程為．             ……… ４分

（Ⅱ）過點(diǎn)，與軸平行的切線存在，此時(shí)，    ……… 6分

設(shè)過點(diǎn)，斜率為的切線方程為，于是

整理得　　　此方程有重根

　　　即

即解得且                          ………10分

所求切線方程為                           ………12分

21．解：由，得，

于是                                                                ……… 3分

　　　　考察函數(shù)，可知          ……… 6分

在上， 和變化情況如下表：

x

0

0

－

－

０

＋

＋

０

－

０

＋

0

↓

↓

１

↑

↑

０

↓

↑

                                                                                           ……… 9分

從而，可得圓方程不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)如下：

當(dāng)或或時(shí)，有2個(gè)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)；

當(dāng)時(shí)，有4個(gè)；當(dāng)時(shí)，有0個(gè)；

當(dāng)時(shí)，有1個(gè)．                                                           ………12分

22解:（Ⅰ）連結(jié)OF．∵DF切⊙O于F，∴∠OFD=90°．∴∠OFC+∠CFD=90°．

∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC．∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°．

∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，∴DF=DE．

∵DF是⊙O的切線,∴DF²=DB?DA．∴DE²=DB?DA.                    ……… 5分

（Ⅱ），CO=，     ．

∵CE?EF= AE?EB= （+2）（-2）=8，∴EF=2．                  ………10分

23解：（Ⅰ）設(shè)M為圓上一點(diǎn)，坐標(biāo)為，則∠或，

由余弦定理得∴極坐標(biāo)方程為           ……… 5分

（Ⅱ）的普通方程為，圓心，半徑．

的普通方程為．

因?yàn)閳A心到直線的距離為，

所以與只有一個(gè)公共點(diǎn)．                                                  ………10分

24．解：（Ⅰ）由絕對(duì)值不等式性質(zhì)知：

對(duì)恒成立

故的解集為，只須既可

的取值范圍是                                                         ……… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知實(shí)數(shù)的最大值為3，當(dāng)時(shí)，成立

證明如下：（利用分析法）要使成立

只須    等價(jià)于  

等價(jià)于    等價(jià)于，而顯然成立，

以上每一步均可逆推，故所證明不等式成立。                            ………10