題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實(shí)數(shù)
，曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時(shí)，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時(shí)，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時(shí)，，令得
當(dāng)
變化時(shí)，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
�！�在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時(shí), 
.當(dāng)
時(shí), 
,最大值為0；
當(dāng)
時(shí), 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時(shí)
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．(本小題滿分12分)[來源:學(xué)§科§網(wǎng)]
已知函數(shù) 的最大值是2，其圖象經(jīng)過點(diǎn)
．
(1)求
的解析式；
(2)已知
，且
，
求
的值．
已知函數(shù)
的最小值為0，其中
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若對任意的
有
≤
成立，求實(shí)數(shù)
的最小值；
（Ⅲ）證明
（
）.
【解析】(1)解：
的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">
由
，得
當(dāng)x變化時(shí)，
，的變化情況如下表：
|
x |
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
|
極小值 |
|
因此，在
處取得最小值，故由題意
，所以
（2）解：當(dāng)
時(shí)，取
，有
，故時(shí)不合題意.當(dāng)
時(shí)，令
，即
令
，得
①當(dāng)
時(shí)，
，
在
上恒成立。因此
在
上單調(diào)遞減.從而對于任意的
，總有
，即
在上恒成立，故符合題意.
②當(dāng)
時(shí)，
，對于
，
，故在
上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時(shí)，
，即
不成立.
故不合題意.
綜上，k的最小值為
.
（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=
=右邊，所以不等式成立.
當(dāng)
時(shí)，
在（2）中取
，得
，
從而
所以有
綜上，
，
已知函數(shù)
的圖象經(jīng)過點(diǎn)
．
（Ⅰ）求
的表達(dá)式及其導(dǎo)數(shù)
；
（Ⅱ）求在閉區(qū)間
上的最大值和最小值．
【解析】第一問由題意，
∴
∴
∴
，
第二問令
∵
，
，
，
∴在閉區(qū)間上的最大值是
，最小值是
．
已知函數(shù)
的圖像上兩相鄰最高點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
和
．（Ⅰ）求
與
的值；（Ⅱ）在
中，
分別是角
的對邊，且
求
的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合運(yùn)用。
第一問中，利用
所以由題意知：
，
；第二問中，，即
，又
，
則
，解得
，
所以
結(jié)合正弦定理和三角函數(shù)值域得到。
解：（Ⅰ），
所以由題意知：，；
（Ⅱ），即，又，
則，解得，
所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912243024954937/SYS201207091224545151178994_ST.files/image021.png">，所以
，所以
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單調(diào)遞減
