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已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說明理由.

【解析】第一問當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當(dāng)時(shí)，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時(shí)，，令得

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

又，，�！�在上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0；

當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時(shí)，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

設(shè)三次函數(shù)，在處取得極值，其圖像在處的切線的斜率為。

（1）求證：；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）問是否存在實(shí)數(shù)（是與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)時(shí)，恒有恒成立？若存在，試求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 （注意：在試題卷上作答無效）

給出定義在(0，＋∞)上的三個(gè)函數(shù)：，，，已知在x＝1處取極值.

（1）確定函數(shù)的單調(diào)性；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立；

（3）把函數(shù)的圖象向上平移6個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

甲乙兩公司生產(chǎn)同一種新產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，對(duì)于函數(shù)，，及任意的，當(dāng)甲公司投入萬元作宣傳時(shí)，乙公司投入的宣傳費(fèi)若小于萬元，則乙公司有失敗的危險(xiǎn)，否則無失敗的危險(xiǎn)；當(dāng)乙公司投入萬元作宣傳時(shí)，甲公司投入的宣傳費(fèi)若小于萬元，則甲公司有失敗的危險(xiǎn)，否則無失敗的危險(xiǎn). 設(shè)甲公司投入宣傳費(fèi)x萬元，乙公司投入宣傳費(fèi)y萬元，建立如圖直角坐標(biāo)系，試回答以下問題：

(1)請(qǐng)解釋；

(2)甲、乙兩公司在均無失敗危險(xiǎn)的情況下盡可能少地投入宣傳費(fèi)用，問此時(shí)各應(yīng)投入多少宣傳費(fèi)？

(3)若甲、乙分別在上述策略下，為確保無失敗的危險(xiǎn)，根據(jù)對(duì)方所投入的宣傳費(fèi)，按最少投入費(fèi)用原則，投入自己的宣傳費(fèi)：若甲先投入萬元，乙在上述策略下，投入最少費(fèi)用；而甲根據(jù)乙的情況，調(diào)整宣傳費(fèi)為；同樣，乙再根據(jù)甲的情況，調(diào)整宣傳費(fèi)為如此得當(dāng)甲調(diào)整宣傳費(fèi)為時(shí)，乙調(diào)整宣傳費(fèi)為；試問是否存在，的值，若存在寫出此極限值（不必證明），若不存在，說明理由.