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已知復數(shù)z₁=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z₂=2+4i且．
（1）若復數(shù)z₁對應的點M（m，n）在曲線上運動，求復數(shù)z所對應的點P（x，y）的軌跡方程；
（2）將（1）中的軌跡上每一點按向量方向平移個單位，得到新的軌跡C，求C的軌跡方程；
（3）過軌跡C上任意一點A（異于頂點）作其切線，交y軸于點B，求證：以線段AB為直徑的圓恒過一定點，并求出此定點的坐標．

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給出以下5個命題：
①曲線x²-（y-1）²=1按平移可得曲線（x+1）²-（y-3）²=1；
②設A、B為兩個定點，n為常數(shù)，，則動點P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是該橢圓上的任意一點，延長F₁P到點M，使|F₂P|=|PM|，則點M的軌跡是圓；
④A、B是平面內(nèi)兩定點，平面內(nèi)一動點P滿足向量與夾角為銳角θ，且滿足 ，則點P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點）；
⑤已知正四面體A-BCD，動點P在△ABC內(nèi)，且點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等，則動點P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號為    ．

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一、選擇題(本大題12小題，每小題5分，共60分)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

D

A

B

C

C

B

C

A

D

A

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13.4949；      14.[]            15.②④；             16.x<0或x>2

三、解答題(本大題共6小題共74分)

17.解(1)設，由，有x+y=-1                       ①……………1分

  與的夾角為，有，

  ∴，則x²+y²=1                                                         ②……………2分

  由①②解得，(-1，0)或(0，-1)       ……………4分

  (2)由2B=A+C知B=                        ……………5分

  由垂直知(0，-1)，則

                                ……………6分

  ∴

  =1+                   ……………8分

  ∵0<A<

  ∴-1≤cos(2A+)<

  即                                                               ………………10分

  故                                                           ………………12分

18.解：(1)過點A作AF⊥CB交CB延長線于點F，連結(jié)EF，則AF，則AF⊥平面BCC₁B₁，∠AEF為所求直線AE與閏面BCC₁B₁所成的角.                   …………………2分

  在Rt△AEF中,AF=∠AEF=

  故直線AE與平面BCC₁B₁所成的角為arctan             …………………6分

  (2)以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，建立空間直角坐標系O-xyz，則

    A(0，-)，E(0，)，D₁(-1，0，2)

                                          …………………8分

   設平面AED1的一個法向量則

   取z=2，得=(3，-1，2)

   ∴點O到平面AED1的呀離為d=                …………………12分

19.解(1)由(an+1+an+2+an+3)-(a_n+a_n+1+a_n+2)=1，

   ∴a₁?a₄,a₇…,a_3n-2是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，

   ∴P_n=                                                …………………4分

   由

   ∴b₂,b₅,b₈, …b_3n-1是以1為首項，公比為-1的等比數(shù)列

   ∴Q_n=                                 …………………8分

   (2)對于P_n≤100Q_n

   當n為偶數(shù)時，不等式顯然不成立；

   當n為奇數(shù)時，                                           …………………12分

20.解(1)逐個計算，得

   P(ξ=-16)=C；                                    …………………1分

   P(ξ=8)=C；

   P(ξ=24)=C；

   P(ξ=32)=C

  故該儲蓄所每天余額ξ的 分布列為：

                                                                                            ……………………6分

 (2)該一天余額ξ的期望Eξ=(-16)×(萬元) …………9分

故儲蓄所每天備用現(xiàn)金至少為14×2=28(萬元)                         ……………………12分

  答：為保證儲戶取款，儲芳所每天備用現(xiàn)金少28萬元。

21.解：(1)有f′(x)|_x=1=1,故直線的斜率為1，切點為(1，f(1)),即(1，0)

  ∴直線l的方程為y=x-1.                                                          ……………………1分

  直線l與y=g(x)的圖像相切，等價于方程組只有一解，

  即方程有兩個相等實根，

  ∴△=1-4?有丙個相等實根，

  (2)∵h(x)=ln(x+1)-x(x>-1)，由h′(x)=

  ∵h′(x)>0,∴-1<x<0

  ∴當x∈(-1，0)時，f(x)是增函數(shù).

  即f(x)產(chǎn)單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，0).                                              …………………6分

  (3)令y₁=f(1+x²)-g(x)=ln(1+x²)-

  由y₁′=

  令y₁′=0,則x=0,-1,1

  當x變化時，y₁′,y₁的變化關(guān)系如下表；

x

(-∞,-1)

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1,+∞)

y′

+

0

-

0

+

0

-

y

ㄊ

極大值ln2

ㄋ

極小值1/2

ㄊ

極大值ln2

ㄋ

  又因為y₁=ln(1+x²)-為偶函數(shù)，據(jù)此可畫

  出y₁=ln(1+x²)-示意圖如下

當k∈(ln2,+∞)時，方程無解；

當k=ln2或k∈時，方程有兩解；

當k=時，方程有三解；

當k∈()時，方程有四解.                                                 …………………12分

22.(1)設M(x,y),則由且O是原點得

  A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)，從而(x，y),

  由得(x,y)?(x-2,y)=k[(x,y-1)?(x-2,y-1)-|y-1|²]

  即(1-k)x²+2(k-1)x+y²=0為所求軌跡方程                                   ………………4分

  ①當k=1時，y=0動點M的軌跡是一條直線

②當k≠1時，(x-1)2+

k=0時，動點M軌跡是一個圓

k>1時，動點M軌跡是一條雙曲線；

0<k<1或k<0時軌跡是一個橢圓                                        ………………6分

(2)當k=時，動點M的軌跡方程為(x-1)2+2y²=1即y²=-(x-1)²

從而

又由(x-1)²+2y²=1   ∴0≤x≤2

∴當x=時，的最大值為.

當x=0時，的最大值為16.

∴的最大值為4，最小值為                     …………………10分

(3)由由得

①當0<k<1時，a²=1,b²=1-k,c²=k

∴e²=k ∴

②當k<0時，e²=

∴k∈                                                      …………………14分