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（2013•宿遷一模）【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知AB，CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的 垂直平分線，若AB=6，CD=2

5

，求線段AC的長度．
B．選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
已知矩陣M=

2 1 1 a

的一個特征值是3，求直線x-2y-3=0在M作用下的新直線方程．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）
在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是

x=cosα y=sinα+1

（α是參數(shù)），若以O為極點，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系中相同的單位長度，建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知關于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集為R，求正實數(shù)a的取值范圍．

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本題包括（1）、（2）、（3）、（4）四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內答，
若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（1）、選修4-1：幾何證明選講
如圖，∠PAQ是直角，圓O與AP相切于點T，與AQ相交于兩點B，C．求證：BT平分∠OBA
（2）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
若點A（2，2）在矩陣M=

cosα -sinα sinα cosα

對應變換的作用下得到的點為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣
（3）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
在極坐標系中，A為曲線ρ²+2ρcosθ-3=0上的動點，B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0上的動點，求AB的最小值．
（4）選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知a₁，a₂…a_n都是正數(shù)，且a₁•a₂…a_n=1，求證：（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n）≥3ⁿ．

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（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與點A，C重合），延長BD至點E．
求證：AD的延長線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=

1 2 -1 4

（1）求A的逆矩陣A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設a，b，c均為正實數(shù)，求證：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

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一．選擇題：

二、填空題:  13.        14.        15.     16.  
三．解答題

17．解：⑴f(x)= sinxcosx++cos2x = sin(2x+)+

T=π，2 kπ-≤2x+≤2 kπ+，k∈Z,

     最小正周期為π，單調增區(qū)間[kπ-,kπ+],k∈Z.

     ⑵由sin(2A+)=0,<2A+<,

∴2A+=π或2π，∴A=或

18. 解：（1）

（2）設各等獎的獎金數(shù)為ξ則

ξ

5000

1000

20

0

P

0.001

0.009

0.09

0.9

∴Eξ=5+9+1.8+0=15.8（元） 

 19．解：（1）平面

           ∵二面角為直二面角，且，

              平面              平面．

（2）連接與高交于，連接是邊長為2的正方形，                    ，

二平面，由三垂線定理逆定理得

是二面角的平面角

由（1）平面，

．

在中，

∴在中，

故二面角等于．

（2）可用向量法

20. 解：（1）因

故是公比為的等比數(shù)列，且

故．

（2）由得

注意到，可得，即

記數(shù)列的前項和為，則

兩式相減得：

故

從而

．

21．解:（1）由得

           ∴橢圓的方程為：．

（2）設直線的方程為：

由得

              由此得．                                   ①

              設與橢圓的交點為，則

              由得

              ，整理得

              ，整理得

              時，上式不成立，          ②

        由式①、②得

        或

        ∴取值范圍是．

22.,解（1）   故在遞減

   （2）  記

       再令

       在上遞增

       ，從而  故在上也單調遞增