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設(shè)、為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，若向量，，（x，y∈R，m≥2），且．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡方程？并指出方程所表示的曲線；
（2）已知點(diǎn)A（0，1}，設(shè)直線l：y=x-3與點(diǎn)M的軌跡交于B、C兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

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設(shè)x、y∈R，、為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8．
（1）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

B

C

B

D

C

B

C

D

C

二、填空題

13.             14.            15.1<m<2              16.2x+6

三、解答題

17.(1)將正弦定量代入條件得：                         …………2分

即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0

   2sinAcosB+sin(B+C)=0

由B+C=π-A，得2sinAcosB+sinA=0                                                    …………4分

   又sinA>0,∴cosB=-,又0<B<π，∴B=                                   …………6分

(2)由余弦定理有：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac=(a+c)²-ac將b= ,a+c=4代入得ac=3

…………10分

 ∴S△ABC=                                  …………12分

18.(1)由S_n=(a_n+1)²,且a_n>0,得a₁=S₁=(a₁+1)²,解得a₁=1_n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=(a_n+1)²-(a_n-1+1)²

(a_n-1)²-(a_n-1+1)²=0,       (a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=0

∴a_n-a_n-1-2=0,  即a_n-a_n-1=2,   ∴{a_n}是公差為2的等數(shù)列

∴a_n=2n-1                                                                                          …………6分

(2)C_n=

T_n=

∴

∴T_n=1+1            …………12分

19.(1)20個(gè)數(shù)中有3的倍數(shù)6個(gè)，除以3余1的7個(gè)，余2的7個(gè)   …………2分

P₁=                                                          …………6分

(2)20個(gè)奇數(shù)有10個(gè)偶數(shù)有10個(gè)，其中5個(gè)是4的倍數(shù)。                 …………8分

∴P₂=1                                                                     …………12分

20.(1)連結(jié)A₁B、A₁E，并延長(zhǎng)A₁E交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連BP由E為C₁C的中點(diǎn)，A₁C₁∥CP，可證A₁E=EP，

∵D、E分別是A₁B、A₁P的中點(diǎn)，

∴DE∥BP

又BP面ABC，DE面ABC

∴DE∥平面ABC                                                                               …………4分

(2)∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)

∴BC⊥AF

∵BB₁⊥平面ABC，∴B₁F⊥AF

∴∠B₁FB為二面角B₁-AF-B的平面角

在Rt△B₁BF中，∠B₁BF=90°，B₁B=a,BF=∴tan∠B₁FB=∴∠B₁FB=arctan                                                    …………8分

即二面β₁-AF-B的大小為arctan

(3)∵B₁F²=

∴B₁F²+EF²=B₁E²,∴B₁F⊥FE

由AF⊥BC，有AF⊥平面B₁BCC₁，即AF⊥平面B₁EF

∴V_F-B1AE=V_A-B1EF=                           …………12分

(注：用向量解法可參照給分)

21.證：(1)設(shè)f(x)上任意兩點(diǎn)，A(x₁,f(x₁)), B(x₂,f(x₂))不妨令x₁>x₂

∵∴f(x₁)-f(x₂)<x₁-x₂

即f(x₁)-x₁<f(x₂-x₂)令g(x)=f(x)-x=-x³+ax²-x+b

∵當(dāng)x₁>x₂時(shí)g(x₁)<g(x₂)

∵g(x)單調(diào)遞減                                                                           ……………6分

(2)∴g(x)單調(diào)遞減∴g′(x)≤0恒成立

∴-3x²+2ax-1≤0恒成立

∴△=4a²-12≤0

∴-≤a≤                                                                          ……………12分

22.(1)∵=(x,y+2)  =(x,y-2)

||+||=8,∴=8

由橢圓定義知，M點(diǎn)軌跡是以(0，2)和(0，-2)為焦點(diǎn)的橢圓

∴                                                                                    ……………6分

(2)∵l的斜率一定存在，設(shè)l：y=kx+3

 (3k²+4)x²+18kx-21=0                                               ……………8分

設(shè)A(x₁，y₁),B(x₂,y₂)

∵ ∴OAPB為平行四邊形

又∵

即OAPB為矩形  ∴   ∴x₁x₂+y₁y₂=0

∴(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0

∴-(1+k²)?

∴k²=∴k=±經(jīng)檢驗(yàn)k=±合題意.

∴存在直線l：y=±x+3                                                                …………14分