題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）已知函數(shù)
滿足
（其中
為在點
處的導數(shù)，
為常數(shù)）．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若方程
有且只有兩個不等的實數(shù)根，求常數(shù)；（3）在（2）的條件下，若
，求函數(shù)的圖象與
軸圍成的封閉圖形的面積．
（本小題滿分13分）
已知函數(shù)
R），設關于
的方程
的兩實根為
，方程
的兩實根為
．（Ⅰ）若
，求
的關系式；（Ⅱ）若均為負整數(shù)，且，求
的解析式； （Ⅲ）若
．
（本小題滿分13分）已知函數(shù)
，．
（Ⅰ） 求函數(shù)
在點(1，
)處的切線方程； （Ⅱ） 若函數(shù)與
在區(qū)間
上均為增函數(shù),求
的取值范圍； （Ⅲ） 若方程
有唯一解,試求實數(shù)
的值．
（本小題滿分13分）已知函數(shù)
．
（1）若
為
的極值點，求實數(shù)
的值；
（2）若
在
上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當
時，方程
有實根，求實數(shù)
的最大值．
（本小題滿分13分）已知函數(shù)
，其中
（1）當
時，求曲線
在點
處的切線方程;
（2）若函數(shù)
在區(qū)間
為增函數(shù)，求
的取值范圍。
武漢市教育科學研究院命制 2009.4.16
一、選擇題
1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．D
二、填空題
11．7 12．（2，3） 13． 14． 15．
三、解答題
16．解：（1）由
由知：，于是可知
得.………………………………………………………（6分）
（2）由及
而在上單調遞增
可知滿足：時單調遞增
于是在定義域上的單調遞增區(qū)間為.………………（12分）
17．解：（1）摸球3次就停止，說明前三次分別都摸到了紅球，
則……………………………………………………………（5分）
（2）隨機變量的取值為0，1，2，3.
則，
，
.
隨機變量的分布列是
0
1
2
3
P
的數(shù)學期望為：
.………………………（12分）
18．解：（1）在四棱錐中，底面，則
若，則和面內相交的兩直線均垂直
面，故.
在底面的平行四邊形中，令
在中，.
于是
在中，由可知：
求得或
依題意，于是有.……………………………………………（6分）
（2）過點作，連結
.
又，面
面
由三垂線定理知：為所求二面角的平面角
過點
易知
又
在中
故所求二面角的大小為45.………………………………………………（12分）
19．解：（1）
故軌跡為以A、B為焦點的雙曲線的右支.
設其方程為：
.
故軌跡方程為.…………………………………………（6分）
（2）由
方程有兩個正根.
設，由條件知.
而
即
整理得，即
由（1）知，即顯然成立.
由（2）、（3）知
而.
.
故的取值范圍為……………………（13分）
20．解：（1）由，
求導數(shù)得到：
，故在有唯一的極值點
，且知
故上有兩個不等實根需滿足：
故所求m的取值范圍為.………………………………………（6分）
（2）又有兩個實根
則
兩式相減得到：
于是
，故
要證：，只需證：
只需證：
令，則
只需證明：在上恒成立.
又則
于是由可知.故知
上為增函數(shù)，則
從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.……………
……………………………………………………………（13分）
21．解：（1）經(jīng)過計算可知：
.
求得.…………………………………………（4分）
（2）由條件可知：.…………①
類似地有：.…………②
①-②有：.
即：.
因此：
即：故
所以：.…………………………………………（8分）
（3）假設存在正數(shù)，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù).
則由（2）可知：…………③
由，及可知.
當時，為整數(shù)，利用，結合③式，反復遞推，可知，，，，…均為整數(shù).
當時，③變?yōu)椤?/p>
我們用數(shù)學歸納法證明為偶數(shù)，為整數(shù)
時，結論顯然成立，假設時結論成立，這時為偶數(shù)，為整數(shù)，故為偶數(shù)，為整數(shù)，所以時，命題成立.
故數(shù)列是整數(shù)列.
綜上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）
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