題目列表(包括答案和解析)
蜜蜂蜂房是嚴(yán)格的六角柱狀體,它的一端是平整的六角形開口,另一端是封閉的六角菱錐形的底,由三個相同的菱形組成.組成底盤的菱形的鈍角為109度28分,所有的銳角為70度32分,這樣既堅固又省料.蜂房的巢壁厚0.073毫米,誤差極。
丹頂鶴總是成群結(jié)隊遷飛,而且排成“人”字形.“人”字形的角度是110度.更精確地計算還表明“人”字形夾角的一半——即每邊與鶴群前進(jìn)方向的夾角為54度44分8秒!而金剛石結(jié)晶體的角度正好也是54度44分8秒!是巧合還是某種大自然的“默契”?
蜘蛛結(jié)的“八卦”形網(wǎng),是既復(fù)雜又美麗的八角形幾何圖案,人們即使用直尺的圓規(guī)也很難畫出像蜘蛛網(wǎng)那樣勻稱的圖案.
冬天,貓睡覺時總是把身體抱成一個球形,這其間也有數(shù)學(xué),因為球形使身體的表面積最小,從而散發(fā)的熱量也最少.
真正的數(shù)學(xué)“天才”是珊瑚蟲.珊瑚蟲在自己的身上記下“日歷”,它們每年在自己的體壁上“刻畫”出365條斑紋,顯然是一天“畫”一條.奇怪的是,古生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)3億5千萬年前的珊瑚蟲每年“畫”出400幅“水彩畫”.天文學(xué)家告訴我們,當(dāng)時地球一天僅21.9小時,一年不是365天,而是400天.
1.同學(xué)們,大自然中有許多有關(guān)數(shù)學(xué)的奧妙,許多現(xiàn)象有意無意地應(yīng)用著數(shù)學(xué),對于這些現(xiàn)象你有什么看法嗎?請你談?wù)勀銓Υ笞匀恢械臄?shù)學(xué)現(xiàn)象的認(rèn)識.
2.把你發(fā)現(xiàn)的大自然中的數(shù)學(xué)問題告訴你的同學(xué)和老師,讓他們也分享一下你認(rèn)識大自然的樂趣.
如圖,已知圓錐體的側(cè)面積為
,底面半徑
和
互相垂直,且
,
是母線
的中點(diǎn).
(1)求圓錐體的體積;
(2)異面直線與
所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示).
【解析】本試題主要考查了圓錐的體積和異面直線的所成的角的大小的求解。
第一問中,由題意,得
,故
從而體積.2中取OB中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)PH,AH.
由P是SB的中點(diǎn)知PH//SO,則(或其補(bǔ)角)就是異面直線SO與PA所成角.
由SO平面OAB,
PH
平面OAB,PH
AH.在
OAH中,由OA
OB得
;
在中,
,PH=1/2SB=2,
,
則,所以異面直線SO與P成角的大arctan
解:(1)由題意,得
,
故從而體積
.
(2)如圖2,取OB中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)PH,AH.
由P是SB的中點(diǎn)知PH//SO,則(或其補(bǔ)角)就是異面直線SO與PA所成角.
由SO平面OAB,
PH
平面OAB,PH
AH.
在OAH中,由OA
OB得
;
在中,
,PH=1/2SB=2,
,
則,所以異面直線SO與P成角的大arctan
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