題目列表(包括答案和解析)
直線ｙ＝ｘ－3與拋物線
交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P、Q ，則梯形APQB的面積為
（A）48 （B）56 �。–）64 （D）72
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3到10頁�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項(xiàng)：
1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。不能答在試題卷上。
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面積公式
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑
球的體積公式
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么
n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分；
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
A
B
D
B
C
D
B
A
C
（1）已知集合，集合，則集合
（A） （B）
（C） （D）
（2）函數(shù)的反函數(shù)是
（A） （B）
（C） （D）
（3）曲線在點(diǎn)處的切線方程是
（A） （B）
（C） （D）
（4）如圖，已知正六邊形，下列向量的數(shù)量積中最大的是
（A） （B）
（C） （D）
（5）甲校有名學(xué)生，乙校有名學(xué)生，丙校有名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生
（A）人，人，人 （B）人，人，人
（C）人，人，人 （D）人，人，人
（6）下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是
（A） （B）
（C） （D）
(7) 已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為
（A） （B） （C） （D）
(8) 已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于
（A） （B） （C） （D）
(9) 如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一
個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是
（A） （B） （C） （D）
(10) 直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線
作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為
（A） （B） （C） （D）
（11）設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對的邊，則是的
（A）充分條件 （B）充分而不必要條件
（C）必要而充分條件 （D）既不充分又不必要條件
（12）從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被整除的概率為
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分；把答案填在題中的橫線上。
（13）展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）
（14）設(shè)滿足約束條件：，則的最小值為________________;
（15）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則
________________;
（16）是空間兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題：
① ②
③ ④
其中真命題的編號是_______①，②_________;（寫出所有真命題的編號）
三．解答題：本大題共6小題，共74分；解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本大題滿分12分）
數(shù)列的前項(xiàng)和記為
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求
本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分12分。
解：（Ⅰ）由可得，兩式相減得
又 ∴
故是首項(xiàng)為，公比為得等比數(shù)列
∴
（Ⅱ）設(shè)的公比為
由得，可得，可得
故可設(shè)
又
由題意可得
解得
∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，∴
∴
∴
（18）（本大題滿分12分）
已知是三角形三內(nèi)角，向量，且
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求
本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。滿分12分。
解：（Ⅰ）∵ ∴
即
∵
∴
∴
（Ⅱ）由題知，整理得
∴ ∴
∴或
而使，舍去
∴
（19）（本大題滿分12分）
某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為；在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為，所有考核是否合格相互之間沒有影響
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；
（Ⅱ）求這三人該課程考核都合格的概率。（結(jié)果保留三位小數(shù)）
本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、對立事件等概率的計(jì)算方法，考察應(yīng)用概率知識解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。
解：記“甲理論考核合格”為事件，“乙理論考核合格”為事件，“丙理論考核合格”為事件， 記為的對立事件，；記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，
（Ⅰ）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對立事件
解法1：
解法2：
所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為
（Ⅱ）記“三人該課程考核都合格” 為事件
所以，這三人該課程考核都合格的概率為
（20）（本大題滿分12分）
如圖，在長方體中，分別是的
中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，以及空間想象能力和推理能力。滿分12分
解法一：
（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)
∵分別為的中點(diǎn)
∵
∴面，面
∴面面
∴面
（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)
∵為的中點(diǎn) ∴
∴面
作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得
從而為二面角的平面角。
在中，，從而
在中，
故：二面角的大小為
方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則
∵分別是的中點(diǎn)
∴
（Ⅰ）
取，顯然面
，∴
又面
∴面
∴過作，交于，取的中點(diǎn)，則
設(shè)，則
又
由，及在直線上，可得:
解得
∴
∴ 即
∴與所夾的角等于二面角的大小
故：二面角的大小為
（21）（本大題滿分12分）
已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)
（Ⅰ）對滿足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)
本小題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識，以及推理能力、運(yùn)輸能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。滿分12分。
解：（Ⅰ）由題意
令，
對，恒有，即
∴ 即
解得
故時(shí)，對滿足的一切的值，都有
（Ⅱ）
①當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)
②當(dāng)時(shí)，列表：
極大
極小
∴
又∵的值域是，且在上單調(diào)遞增
∴當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)。
當(dāng)時(shí)，恒有
由題意得
即
解得
綜上，的取值范圍是
（22）（本大題滿分14分）
已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積
本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分14分。
解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
且，易知
故曲線的方程為
設(shè)，由題意建立方程組
消去，得
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有
解得
∵
依題意得
整理后得
∴或
但 ∴
故直線的方程為
設(shè)，由已知，得
∴，
又，
∴點(diǎn)
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，
但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意
∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為
到的距離為
∴的面積
錄入：四川省內(nèi)江市隆昌縣黃家中學(xué)
程 亮
2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
（四川卷）文科數(shù)學(xué)及參考答案
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分；
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
A
B
D
B
C
D
B
A
C
（1）已知集合=，集合，則集合，選C.
（2）函數(shù)，解得(y∈R)，所以原函數(shù)的反函數(shù)是，選A.
（3）曲線，導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以切線方程是，選D.
（4）如圖，已知正六邊形，設(shè)邊長，則∠=.，,=，∠=，，=，=0，<0，∴ 數(shù)量積中最大的是，選A
（5）甲校有名學(xué)生，乙校有名學(xué)生，丙校有名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生人，人，人，選B.
（6）從圖象看出，T=，所以函數(shù)的最小正周期為π，函數(shù)應(yīng)為y=向左平移了個(gè)單位，即
=，所以選D.
(7) 已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ=，選B.
(8) 已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，
則，即，所以點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π，選C.
(9) 如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面積是，選D.
(10) 直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，聯(lián)立方程組得，消元得，解得，和，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面積為48，選B.
（11）設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對的邊，若，
則，則，
∴ ，，
又，∴ ，∴ ，，
若△ABC中，，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，
所以是的充要條件，選A.
（12）從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被整除。
所有的三位數(shù)有個(gè)，將10個(gè)數(shù)字分成三組，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：①三個(gè)數(shù)字均取第一組，或均取第二組，有個(gè)；② 若三個(gè)數(shù)字均取自第三組，則要考慮取出的數(shù)字中有無數(shù)字0，共有個(gè)；③ 若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中不取0，有個(gè)，④若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中取0，有個(gè)，這樣能被3 整除的數(shù)共有228個(gè)，不能被整除的數(shù)有420個(gè)，所以概率為=，選C。
第Ⅱ卷
二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分；把答案填在題中的橫線上。
（13）展開式中的項(xiàng)為，的系數(shù)為－960。
（14）設(shè)滿足約束條件：，在直角坐標(biāo)系中畫出可行域△ABC，其中A(1，)，B(1，8)，C(4，2)，所以的最小值為－6。
（15）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則根據(jù)橢圓的對稱性知，，同理其余兩對的和也是，又，∴ =35.
（16）是空間兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題：
①,為真命題；②，為ie假命題；
③為假命題； ④為真命題，
所以真命題的編號是①、④.
三．解答題：本大題共6小題，共74分；解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本大題滿分12分）
數(shù)列的前項(xiàng)和記為
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求
本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分12分。
解：（Ⅰ）由可得，兩式相減得
又 ∴
故是首項(xiàng)為，公比為得等比數(shù)列
∴
（Ⅱ）設(shè)的公比為
由得，可得，可得
故可設(shè)
又
由題意可得
解得
∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，∴
∴
∴
（18）（本大題滿分12分）
已知是三角形三內(nèi)角，向量，且
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求
本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。滿分12分。
解：（Ⅰ）∵ ∴
即
∵
∴
∴
（Ⅱ）由題知，整理得
∴ ∴
∴或
而使，舍去
∴
（19）（本大題滿分12分）
某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為；在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為，所有考核是否合格相互之間沒有影響
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；
（Ⅱ）求這三人該課程考核都合格的概率。（結(jié)果保留三位小數(shù)）
本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、對立事件等概率的計(jì)算方法，考察應(yīng)用概率知識解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。
解：記“甲理論考核合格”為事件，“乙理論考核合格”為事件，“丙理論考核合格”為事件， 記為的對立事件，；記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，
（Ⅰ）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對立事件
解法1：
解法2：
所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為
（Ⅱ）記“三人該課程考核都合格” 為事件
所以，這三人該課程考核都合格的概率為
（20）（本大題滿分12分）
如圖，在長方體中，分別是的
中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，以及空間想象能力和推理能力。滿分12分
解法一：
（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)
∵分別為的中點(diǎn)
∵
∴面，面
∴面面
∴面
（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)
∵為的中點(diǎn) ∴
∴面
作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得
從而為二面角的平面角。
在中，，從而
在中，
故：二面角的大小為
方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則
∵分別是的中點(diǎn)
∴
（Ⅰ）
取，顯然面
，∴
又面
∴面
∴過作，交于，取的中點(diǎn)，則
設(shè)，則
又
由，及在直線上，可得:
解得
∴
∴ 即
∴與所夾的角等于二面角的大小
故：二面角的大小為
（21）（本大題滿分12分）
已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)
（Ⅰ）對滿足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)
本小題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識，以及推理能力、運(yùn)輸能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。滿分12分。
解：（Ⅰ）由題意
令，
對，恒有，即
∴ 即
解得
故時(shí)，對滿足的一切的值，都有
（Ⅱ）
①當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)
②當(dāng)時(shí)，列表：
極大
極小
∴
又∵的值域是，且在上單調(diào)遞增
∴當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)。
當(dāng)時(shí)，恒有
由題意得
即
解得
綜上，的取值范圍是
（22）（本大題滿分14分）
已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積
本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分14分。
解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
且，易知
故曲線的方程為
設(shè)，由題意建立方程組
消去，得
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有
解得
∵
依題意得
整理后得
∴或
但 ∴
故直線的方程為
設(shè)，由已知，得
∴，
又，
∴點(diǎn)
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，
但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意
∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為
到的距離為
∴的面積
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