題目列表(包括答案和解析)
己知在銳角ΔABC中，角
所對的邊分別為
，且
(I )求角
大小；
(II)當(dāng)
時(shí)，求
的取值范圍.
20．如圖1，在平面內(nèi)，
是
的矩形，
是正三角形，將沿
折起，使
如圖2，
為的中點(diǎn)，設(shè)直線
過點(diǎn)且垂直于矩形所在平面，點(diǎn)
是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)
位于平面的同側(cè)。
（1）求證：
平面；
（2）設(shè)二面角
的平面角為
，若
，求線段
長的取值范圍。
 |
21.已知A，B是橢圓
的左，右頂點(diǎn)，
，過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)M，N，交直線
于點(diǎn)P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列,R和Q是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，R和Q的橫坐標(biāo)之和為2，RQ的中垂線交X軸于T點(diǎn)
(1)求橢圓C的方程；
（2）求三角形MNT的面積的最大值
22. 已知函數(shù)
，
（Ⅰ）若
在
上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為
，試求
和
的值。
（Ⅱ）若為奇函數(shù)：
（1）是否存在實(shí)數(shù)，使得在
為增函數(shù)，
為減函數(shù)，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；
（2）如果當(dāng)
時(shí)，都有
恒成立，試求的取值范圍.
如圖，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓周上異于A、B的一點(diǎn)．
(1)若一個(gè)n面體中有m個(gè)面是直角三角形，則稱這個(gè)n面體的直度為
．那么四面體P－ABC的直度為多少？說明理由；
(2)在四面體P－ABC中，AP＝AB＝1，設(shè)
．若動(dòng)點(diǎn)M在四面體P－ABC表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PB⊥AM．設(shè)
為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成的封閉圖形的面積關(guān)于角
的函數(shù)，求取最大值時(shí)，二面角A－PB－C的正切值．
如圖甲，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓周上異于A、B的一點(diǎn)．
（1）若一個(gè)
面體中有
個(gè)面是直角三角形，則稱這個(gè)面體的直度為
．那么四面體
的直度為多少？說明理由；
（2）在四面體中，
，設(shè)
．若動(dòng)點(diǎn)
在四面體 表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持
．設(shè)
為動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積關(guān)于角
的函數(shù)，求取最大值時(shí),二面角
的正切值．
已知函數(shù)
的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實(shí)數(shù)
，曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時(shí)，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時(shí)，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時(shí)，，令得
當(dāng)
變化時(shí)，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時(shí), 
.當(dāng)
時(shí), 
,最大值為0；
當(dāng)
時(shí), 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時(shí)
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
已知函數(shù)
．
(Ⅰ)若
在
上的最大值為
，求實(shí)數(shù)
的值；
(Ⅱ)若對任意
，都有
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，設(shè)
，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線
上是否存在兩點(diǎn)
，使得
是以
（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上？請說明理由．
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單調(diào)遞減