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已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，p是橢圓上一點，且在x軸上方，PF₂⊥F₁F₂，PF₂=λPF₁，λ∈[

1

3

，

1

2

]．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當e取最大值時，過F₁，F(xiàn)₂，P的圓Q的截y軸的線段長為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準線l上任一點A引圓Q的兩條切線，切點分別為M，N．試探究直線MN是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

若橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（2，1），離心率為

2

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左、右焦點．
（Ⅰ）若點P與F₁，F(xiàn)₂的距離之比為

1

3

，求直線x-

2

y+

3

=0被點P所在的曲線C₂截得的弦長；
（Ⅱ） 設A₁，A₂分別為橢圓C₁的左、右頂點，Q為C₁上異于A₁，A₂的任意一點，直線A₁Q交C₁的右準線于點M，直線A₂Q交C₁的右準線于點N，求證MF₂⊥NF₂．

若橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（2，1），離心率為

2

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左、右焦點．
（Ⅰ）若點P與F₁，F(xiàn)₂的距離之比為

1

3

，求直線x-

2

y+

3

=0被點P所在的曲線C₂截得的弦長；
（Ⅱ） 設A₁，A₂分別為橢圓C₁的左、右頂點，Q為C₁上異于A₁，A₂的任意一點，直線A₁Q交C₁的右準線于點M，直線A₂Q交C₁的右準線于點N，求證MF₂⊥NF₂．