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（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)f（x）＝alnx＋x²（a為實(shí)常數(shù)）．

（Ⅰ）若a＝－2，求證：函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值；

（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)底），函數(shù)y =f(x)在A(0，a)處的切線(xiàn)與y =g(x)在B(0，lna)處的切線(xiàn)互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求證：對(duì)任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 設(shè)y =g(x-1)的圖象為C₁，h(x)=-x²+bx的圖象為C₂，若C₁與C₂相交于P、Q，過(guò)PQ中點(diǎn)垂直于x軸的直線(xiàn)分別交C₁、C₂于M、N，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)b，使得C₁在M處的切線(xiàn)與C₂在N處的切線(xiàn)平行？說(shuō)明你的理由.

（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)底），函數(shù)y =f(x)在A(0，a)處的切線(xiàn)與y =g(x)在B(0，lna)處的切線(xiàn)互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求證：對(duì)任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 設(shè)y =g(x-1)的圖象為C₁，h(x)=-x²+bx的圖象為C₂，若C₁與C₂相交于P、Q，過(guò)PQ中點(diǎn)垂直于x軸的直線(xiàn)分別交C₁、C₂于M、N，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)b，使得C₁在M處的切線(xiàn)與C₂在N處的切線(xiàn)平行？說(shuō)明你的理由.

（本小題滿(mǎn)分14分）已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f_n(x)=xⁿ，n∈N^*，其導(dǎo)函數(shù)記為，且滿(mǎn)足，a，x₁，x₂為常數(shù),x₁≠x₂．
(1)試求a的值；
(2)記函數(shù)，x∈（0，e]，若F(x)的最小值為6，求實(shí)數(shù)b的值；
(3)對(duì)于(2)中的b，設(shè)函數(shù)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁<x₂)是函數(shù)g(x)圖象上兩點(diǎn)，若，試判斷x₀，x₁，x₂的大小，并加以證明．