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如圖，用A、B、C三類不同的無(wú)件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N₁、N₂．當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N₁正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N₂正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90．分別求系統(tǒng)N₁、N₂正常工作的概率P₁、P₂．    

―      A ― B ― C ―

                                                   ― A ―

（19）（本小題滿分12分）

設(shè)是R上的偶函數(shù)．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

注意：考生在（20甲）、（20乙）兩題中選一題作答，如果兩題都答，只以（20甲）計(jì)分．

（20甲）（本小題滿分12分）如圖，以正四棱錐V―ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空

        間直角坐標(biāo)系O―xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)

        （Ⅰ）求

        （Ⅱ）記面BCV為α，面DCV為β，若∠BED是

              二面角α―VC―β的平面角，求∠BED．

（20乙）本小題滿分12分）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S―ABCD中，

        面ABCD，   

        SA=AB=BC=1，AD=

   （Ⅰ）求四棱錐S―ABCD的體積；

   （Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

（21）（本小題滿分12分）

某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸（即雙曲線的虛軸）旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A′是雙曲線的頂點(diǎn)，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，B、B′是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．

（Ⅱ）求冷卻塔的容積（精確到10m³，塔壁厚度不計(jì)，π取3.14）．

（22）（本小題滿分14分）

設(shè)曲線有4個(gè)不同的交點(diǎn)．

（Ⅰ）求θ的取值范圍；

（Ⅱ）證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓，并求圓半徑的取值范圍．

參  考  答  案

（1）A （2）B （3）C （4）A （5）B （6）A  （7）A （8）D （9）A （10）B （11）D （12）D

（13）  （14）1.2  （15）②  （16）1

（17）本小題主要考查分式不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．

解：原不等式的解集是下面不等式組（Ⅰ）、（Ⅱ）的解集的并集：

（Ⅰ）  （Ⅱ）

分情況討論

（i）當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)，有a＜a²，此時(shí)不等式組（I）的解集為不等式組（II）的解集為空集φ；

（ii）當(dāng)時(shí)，有a²＜a，此時(shí)，不等式組（I）的解集為空集φ，不等式組（II）的解集為

（iii）當(dāng)a=0或a=1時(shí)，原不等式無(wú)解．

綜上，當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)a=0或a=1時(shí)，原不等式的解集為φ.

（18）本小題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生或互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法，考查運(yùn)用概率知識(shí)解

     決實(shí)際問(wèn)題的能力。

解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C，由已知條件

    P（A）=0.80, P(B)=0.90,  P(C)=0.90.

    （I）因?yàn)槭录嗀、B、C是相互獨(dú)立的，所以，系統(tǒng)N₁正常工作的概率

         P₁=P（A?B?C）=P（A）?P（B）?P（C）=0.80×0.90×0.90=0.648.

    故系統(tǒng)N₁正常工作的概率為0.648.

    （II）系統(tǒng)N₂正常工作的概率

     故系統(tǒng)N₂正常工作的概率為0.792.

（19）本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等基本性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)和不等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算，以及綜

      合分析問(wèn)題的能力.

（I）解：依題意，對(duì)一切有，即

             所以對(duì)一切成立.

            由此得到即a²=1.            又因?yàn)閍＞0，所以a=1.

    （II）證明一：設(shè)0＜x₁＜x₂，

         由

         即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

         證明二：由得

                 當(dāng)時(shí)，有此時(shí)

                 所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

注意：考生在（20甲）、（20乙）兩題中選一題作答，如果兩題都答，只以（20甲）計(jì)分．

（20甲）本小題主要考查空間直角坐標(biāo)的概念、空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及兩個(gè)向量夾角的計(jì)算方法；

        考查運(yùn)用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法．

解：（I）由題意知B（a，a，0），C（?a，a，0），D（?a，?a，0），E

        由此得

        由向量的數(shù)量積公式有

    （II）若∠BED是二面角α―VC―β的平面角，則，即有=0．

         又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有且

         即這時(shí)有

（20乙）本小題主要考查線面關(guān)系和棱錐體積計(jì)算，以及空間想象能力和邏輯推理能力．滿分12分．

       解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面積是

               M_底面=                                                               

       ∴四棱錐S―ABCD的體積是

               V=

                =.

（Ⅱ）延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱．

           ∵AD∥BC, BC=2AD,

          ∴EA=AB=SA, ∴SE⊥SB，

     ∴  SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SE是CS在

         面SEB上的射影，∴ CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角.                            

∵ 

       即所求二面角的正切值為

（21）本小題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組等基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識(shí)、思想

      和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

解：（I）如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，AA′在x軸上，AA′的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，CC′與BB′平行于x軸.

設(shè)雙曲線方程為則

又設(shè)B（11，y₁），C（9，y₂），因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以有

   ②

由題意知

 ③

由①、②、③得

故雙曲線方程為

    （II）由雙曲線方程得

          設(shè)冷卻塔的容積為V（m³），則

          經(jīng)計(jì)算得

         答：冷卻塔的容積為

（22）本小題主要考查坐標(biāo)法、曲線的交點(diǎn)和三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，以及邏輯推理能力和運(yùn)算能力．

解：（I）兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）滿足方程組

          即

有4個(gè)不同交點(diǎn)等價(jià)于且即

又因?yàn)樗�以得的取值范圍為�?，

（II）由（I）的推理知4個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）滿足方程

即得4個(gè)交點(diǎn)共圓，該圓的圓心在原點(diǎn)，半徑為

因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以由

知r的取值范圍是