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1．如果復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則的值等于

A．                        B．                           C．                       D．

2．右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是

A．

B．

C．

D．

3．若函數(shù)的圖象如右圖，其中為常數(shù)．則函數(shù)的大致圖象是

A．                B．               C．               D．

4．設(shè)平面區(qū)域是由雙曲線的兩條漸近線和橢圓的右準(zhǔn)線所圍成三角形的邊界及內(nèi)部．若點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為

A．                           B．                          C．                          D．

5．定義行列式運(yùn)算：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，若所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是

A．             B．              C．              D．

6．利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間上產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)和，則方程有實(shí)根的概率為

A．                         B．                          C．                         D．

7．在右圖的表格中，如果每格填上一個(gè)數(shù)后，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，那么的值為

A．                                                              B．

C．                                                             D．

8．用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號(hào)為的個(gè)小正方形（如右圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為“、、”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有

A．種                                                      B．種

C．種                                                       D．種

（一）必做題：第9、10、11、12題為必做題，每道試題考生都必須做答

9．某大型超市銷售的乳類商品有四種：純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉，且純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有種、種、種、種不同的品牌．現(xiàn) 采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行三聚氰胺安全檢測，若抽取的嬰幼兒奶粉的品牌數(shù)是，則             ．

10．已知為正偶數(shù)，且的展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第項(xiàng)的系數(shù)是           ．（用數(shù)字作答）hytprinting.com

11．已知命題，．若命題是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是           ．

12．已知是的中線，，那么       ；若，，則的最小值是           ．

（二）選做題：第13、14、15題為選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計(jì)算前兩題的得分．

13．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線在極坐標(biāo)系中的方程為．若曲線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是          ．

14．（幾何證明選講選做題）如圖，切⊙于點(diǎn)，交⊙于、兩點(diǎn)，且與直徑交于點(diǎn)，，，，則         ．

15．（不等式選講選做題）若不等式，對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)、、恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是            ．

16．（本小題滿分12分）hytprinting.com

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）設(shè)，求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．

17．（本小題滿分12分）

如圖，為圓的直徑，點(diǎn)、在圓上，，矩形所在平面和圓所在的平面互相垂直．已知，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大��；

（Ⅲ）當(dāng)的長為何值時(shí)，二面角的大小為？

18．（本小題滿分14分）

甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得分（無平局），比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多分或打滿局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為．

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）設(shè)表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

注：“”，即為“”或?yàn)椤?sub>”．

19．（本題滿分14分）

已知函數(shù)（，）．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

20．（本題滿分14分）

在四邊形中，已知，點(diǎn)在軸上， ，且對(duì)角線．

（Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ)若點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩切線、，、為切點(diǎn)，為的中點(diǎn)．求證：軸；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，直線是否恒過一定點(diǎn)？若是，請求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

21．（本題滿分14分）

已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．

（Ⅰ）若數(shù)列滿足：，（），求數(shù)列的通項(xiàng)；

（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，（）．

（?）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，請求出數(shù)列的通項(xiàng)；若不是，請說明理由；

（?）當(dāng)時(shí)，求證：．

2009年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)(理科)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

1

2

3

4

5

6

7

8

C

C

D

C

A

B

B

A

  9．．              10．．             11． ．          12． ； ．

 13．．          14． ．             15．．

16．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）設(shè)，求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間

【解】（Ⅰ）∵

.                                                                  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………  3分                   

的最小正周期為．                 …………………  5分

（Ⅱ）∵，  ，    ．           

的值域?yàn)?sub>．       　………………  10分

當(dāng)遞減時(shí)，遞增．　　　　　　　　　　　　

，即．        

故的遞增區(qū)間為．           ……………………12分

17．（本小題滿分12分）

如圖，為圓的直徑，點(diǎn)、在圓上，，矩形和圓所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大�。�

(Ⅲ)當(dāng)的長為何值時(shí)，二面角的大小為？

【解】（Ⅰ）證明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又為圓的直徑，，

平面．

平面，平面平面．                  ………………………4分

 （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的證明，有平面，為在

平面上的射影，

因此，為直線與平面所成的角． ………………………5分

，四邊形為等腰梯形，

過點(diǎn)作，交于．

,，則．

在中，根據(jù)射影定理，得．       ………………………7分

，．

直線與平面所成角的大小為．                       ………………………8分

 (Ⅲ)（解法一）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連．

根據(jù)（Ⅰ）的證明，平面，則，

為二面角的平面角，．             …………………9分

在中，，,．              …………………  10分

又四邊形為矩形， ．

．               

因此，當(dāng)的長為時(shí)，二面角的大小為．            …………………12分

（解法二）設(shè)中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、方向

分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

在中，，,．

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為,

，

設(shè)平面的法向量為，則,．

即     令，解得

                                               …………………10分

取平面的一個(gè)法向量為，依題意與的夾角為

，即， 解得（負(fù)值舍去）

因此，當(dāng)的長為時(shí)，二面角的大小為．           …………………12分

18．（本小題滿分14分）

甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，

負(fù)者得分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多分或打滿

局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，

且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽

停止的概率為．

若右圖為統(tǒng)計(jì)這次比賽的局?jǐn)?shù)和甲、乙的總得

分?jǐn)?shù)、的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入，

；如果乙獲勝，則輸入．

寫什么條件？

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）設(shè)表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量

的分布列和數(shù)學(xué)期望． 　　　  

注：“”，即為“”或?yàn)椤?sub>”．

【解】（Ⅰ）程序框圖中的第一個(gè)條件框應(yīng)填，第二個(gè)應(yīng)填．     ………………… 4分

注意：答案不唯一．

（Ⅱ）依題意，當(dāng)甲連勝局或乙連勝局時(shí)，第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽結(jié)束．

有．   

 解得或．                               …………………………………6分

，     ．                                ………………………… 7分

（Ⅲ）（解法一）依題意知，的所有可能值為2，4，6．            ………………………… 8分

設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為．

若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響．

從而有，

　　　　，

　　　　．

隨機(jī)變量的分布列為：                                    …………………………… 12分

故．                           …………………………… 14分

 （解法二）依題意知，的所有可能值為2，4，6．                      …………………  8分

令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝．

由獨(dú)立性與互不相容性得

，

              ，

              ．                                   …………………  12分

隨機(jī)變量的分布列為：hytprinting.com

故．                                 …………………  14分

19．（本題滿分14分）

已知函數(shù)（，）．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解】（Ⅰ）                                     …………………  2分

，

由，得．

，，．

又．

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為．  ………… 6分  

（Ⅱ）【法一】不等式，即為．……………（※）

令，當(dāng)時(shí)，．

則不等式（※）即為．                             …………………9分

令，，

在的表達(dá)式中，當(dāng)時(shí)，，

又時(shí)，，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

在時(shí)，取得最大，最大值為．             …………………12分

因此，對(duì)一切正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值．

實(shí)數(shù)的取值范圍是．                           ………………………… 14分

【法二】不等式，即為．………………（※）

設(shè)，

，

令，得或．                               ………………………… 10分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，取得最大值．

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．                        ………………………… 14分

20．（本題滿分14分）

在四邊形中，已知，點(diǎn)在軸上， ，且對(duì)角線．

（Ⅰ) 求點(diǎn)的軌跡的方程；

(Ⅱ)若點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩切線、，、為切點(diǎn)，為的中點(diǎn)．求證：軸或與軸重合；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，直線是否恒過一定點(diǎn)？若是，請求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

【解】（Ⅰ)如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，

，，即．

∴所求的軌跡是除去頂點(diǎn)的拋物線 ……………… 3分

  （解法一）(Ⅱ)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，．

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則過該切點(diǎn)的切線的斜率是，該切線方程是．

又設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

切線過點(diǎn)，有，

化簡，得．                              …………………………6分

設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則、為方程的兩根，

．

因此，當(dāng)時(shí)，直線與軸重合，當(dāng)時(shí)，直線與軸平行     …………9分

(Ⅲ) ．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．                         

     又．

直線的方程為：，即．………（）

當(dāng)時(shí)，方程（）恒成立，

對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．        …………………………14分

（解法二）(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用切點(diǎn)弦直線方程的結(jié)論可得出直線的方程為，即                          …………………………7分

由 得.

．

.

因此，當(dāng)時(shí)，直線與軸重合，當(dāng)時(shí)，直線與軸平行.   ……………9分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直線的方程為，即．

后面解法同解法一.

21．（本題滿分14分）

已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．

（Ⅰ）若數(shù)列滿足：，（），求數(shù)列的通項(xiàng)；

（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，（）．

（?）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，請求出數(shù)列的通項(xiàng)；若不是，請說明理由；

（?）當(dāng)時(shí)， 求證：．

【解】（Ⅰ），                 …………………………1分

，

即．                         …………………………3分

，   數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．

，即．                  …………………………5分

（Ⅱ）（?），

．

當(dāng)時(shí)，．

假設(shè)，則．

由數(shù)學(xué)歸納法，得出數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，是等差數(shù)列，其通項(xiàng)為．   …………8分

（?）， ．

當(dāng)時(shí)，．

假設(shè)，則 ．

由數(shù)學(xué)歸納法，得出數(shù)列．……………10分

又，

，

即．                 …………………………12分

．

，

．                 　   …………………………14分

                               審題：石永生    命題：喻秋生   姚亮   黃元華