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          2009年上海市四校高三質(zhì)量調(diào)研
          數(shù)學(xué)（理科）試題
          考生注意：
          1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚.
          2.本試卷共有21道試題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.
          題號(hào)
          一
          二
          三
          總分
          16
          17
          18
          19
          20
          21
          得分
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          一、填空題 （本大題滿分55分）本大題共有11題，只要求直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分。
          1．已知，若為純虛數(shù)，則的值為。    

          

          試題詳情
          

          2．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。          

          

          試題詳情
          

          3．已知函數(shù)，。
          

          試題詳情
          

          4．球面上有A、B、C三點(diǎn)，AB＝AC＝2，，球心到平面ABC的距離為1，則球的表面積為。
          

          試題詳情
          

          5．已知數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的正整數(shù)，都有，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則。
          

          試題詳情
          

          6．若，且，則_________。
          

          試題詳情
          

          7．已知雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則。 
          

          試題詳情
          

          8．已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足，若方程有且僅有2009個(gè)實(shí)數(shù)解，則這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為             
。
          

          試題詳情
          

          9．袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球和若干個(gè)黑球（球的大小均相同），從中任取2個(gè)球，設(shè)每取得一個(gè)黑球得0分，每取得一個(gè)白球得1分，每取得一個(gè)紅球得2分，已知得0分的概率為，則袋中黑球的個(gè)數(shù)為。
          

          試題詳情
          

          10．中，分別是角的對(duì)邊，已知，，現(xiàn)有以下判斷:
          

          試題詳情
          

          ① 不可能等于15；②
若,則；③若,則有兩解。請(qǐng)將所有正確的判斷序號(hào)填在橫線上____________。
          

          試題詳情
          

          11．如圖所示，已知D是面積為1的△ABC的邊AB的中點(diǎn)，E是邊AC上任一點(diǎn)，連結(jié)DE，F(xiàn)是線段DE上一點(diǎn)，連結(jié)BF，設(shè)，，，且，則△BDF的面積S的最大值是               。
           
          

          試題詳情
          

          二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)，選對(duì)得 4分，不選、選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)，一律得零分。
          12．設(shè)已知全集，集合，則等于                                                         
（   ） 
          

          試題詳情
          

          （A）       （B）    
（C）         
（D） 
          

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          13．設(shè)                       
（  ）
          （A）0        
（B）1           
（C）2            
（D）3
          

          試題詳情
          

          14．已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓的兩條切線，A、B
          是切點(diǎn)，若四邊形PACB（C為圓心）面積的最小值為2，則k的值為 
（  ）
          

          試題詳情
          

          （A）3               （B）                  （C）                     （D）2
          

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          15．已知不等式對(duì)于,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）
          

          試題詳情
          

          （A）          
（B）             （C）                （D）
           
          

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          三、解答題（本大題滿分90分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
          16.（本題滿分11分）如圖，、是單位圓上的點(diǎn)，是單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，三角形為等邊三角形。求及的值。
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          17. （本題滿分12分） 本題共有3個(gè)小題，每小題滿分4分。
          

          試題詳情
          

          如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，。
          

          試題詳情
          

          （Ⅰ）求證：平面；
          

          試題詳情
          

          （Ⅱ）求異面直線與所成角的大小；
          

          試題詳情
          

          （Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離。
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          18. （本題滿分12分） 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分。
          某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng)，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)。已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬美元）
          項(xiàng)目
          類別
          年固定成本
          （單位：萬美元）
          每件產(chǎn)品成本
          （單位：萬美元）
          每件產(chǎn)品銷售價(jià)
          （單位：萬美元）
          每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)（單位：件）
          A產(chǎn)品
          20
          

          試題詳情
          

          10
          200
          B產(chǎn)品
          40
          8
          18
          120
          

          試題詳情
          

          其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，為常數(shù)，且。另外，年銷售件B產(chǎn)品時(shí)需上交 萬美元的特別關(guān)稅。
          

          試題詳情
          

          （1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)，與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；
          （2）如何投資才可獲得最大年利潤(rùn)。
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          19. （本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。
          

          試題詳情
          

          已知函數(shù)，
          

          試題詳情
          

          （1）判斷的奇偶性，并說明理由；
          

          試題詳情
          

          （2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性。
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          20. （本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分。
          

          試題詳情
          

          在直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn)，且。
          

          試題詳情
          

          （Ⅰ）求點(diǎn)的的坐標(biāo)及橢圓的方程；
          

          試題詳情
          

          （Ⅱ）已知直線，且與橢圓交于兩點(diǎn)，提出一個(gè)與面積相關(guān)的問題，并作出正確解答。
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          21. （本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。
          

          試題詳情
          

          已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，， 
          

          試題詳情
          

          （1）當(dāng)時(shí)，填寫下列列表格：
          

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          2
          3
          35
          100
          

          試題詳情
          

           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          （2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和；
          

          試題詳情
          

          （3）令，求證：當(dāng)時(shí)，。
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          2009年上海市四校高三質(zhì)量調(diào)研
            數(shù)學(xué)試卷（理科）
          

          試題詳情
          

          一、填空題：
          1．   2．    3．    
4．12     5．    
6．11    7．    
8．2009        
9．4個(gè)    10．①②
          11．解: 。因?yàn)椤鰽BC的面積為1, ,所以,△ABE的面積為,因?yàn)镈是AB的中點(diǎn),所以, △BDE的面積為,因?yàn)?sub>,所以△BDF的面積為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最大值。
          二、選擇題：
          12．B    13．C     14．D     15．D
          三、解答題：
          16．解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，，，                                   
        2分
          所以                                   
            4分
          （Ⅱ）因?yàn)槿切?sub>為正三角形，所以，，，                   
                                 5分
          所以
                                                      
  8分
          所以
          。                                    
   11分
          17．解：方法一：（I）證明：連結(jié)OC，因?yàn)?sub>所以       
          又所以，                              
2分
          在中，由已知可得 而
          所以所以即，
          而       所以平面。                                
4分
          （II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知
          所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，         
5分
          在中，因?yàn)?sub>是直角斜邊AC上的中線，所以所以所以異面直線AB與CD所成角的大小為。                                                      
8分
          （III）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為，因?yàn)?sub>
                                                                              
9分
          在中， 所以
          而所以，
          所以點(diǎn)E到平面ACD的距離為。                                  
12分 
          方法二：（I）同方法一。
          （II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立直角坐標(biāo)系，則 ，設(shè)的夾角為，則所以異面直線AB與CD所成角的大小為。
          （III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則
                    
          令得是平面ACD的一個(gè)法向量。又 所以點(diǎn)E到平面ACD的距離       。
           18．解：（Ⅰ）由年銷售量為件，按利潤(rùn)的計(jì)算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤(rùn)分別為：
          且        
2分
          所以    
                 5分
          （Ⅱ）因?yàn)?sub>所以為增函數(shù)，
          ，所以時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(rùn)為（萬美元）                        
7分
          又，所以時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品
          有最大利潤(rùn)為460（萬美元）                              
         9分
          現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤(rùn)最大，為此，我們作差比較：
            11分
          所以：當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤(rùn);
               當(dāng)時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤(rùn)；
               當(dāng)時(shí)，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤(rùn)。12分
          19．解：（1）當(dāng)時(shí)， ，成立，所以是奇函數(shù)；
          3分
          當(dāng)時(shí)，，這時(shí)所以是非奇非偶函數(shù)；                                 
                          6分
          （2）當(dāng)時(shí)，設(shè)且,則
                           
9分
          當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>且，所以
          所以，
          ，所以是區(qū)間 的單調(diào)遞減函數(shù)。 12分
          同理可得是區(qū)間 的單調(diào)遞增函數(shù)。                          
14分
          20．解：（Ⅰ）由拋物線：知，設(shè)，在上，且，所以，得，代入，得，
          所以。                                                     
4分
          在上，由已知橢圓的半焦距，于是
          消去并整理得  ， 解得（不合題意，舍去）．
          故橢圓的方程為。                                     
7分
          （另法：因?yàn)?sub>在上，
          所以，所以，以下略。）
          （Ⅱ）由得，所以點(diǎn)O到直線的距離為
          ，又，
          所以，
          且。                                     
10分
          下面視提出問題的質(zhì)量而定：
          如問題一：當(dāng)面積為時(shí)，求直線的方程。（）      得2分
          問題二：當(dāng)面積取最大值時(shí)，求直線的方程。（）       得4分
          21．解：（1）
          2
          3
          35
          100
          97
          94
          3
          1
                                                                              
4分
          （2）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,                              6分
          從而=                     8分
              =。                 
10分
          （3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>,                       

           所以                               
12分
          當(dāng)時(shí)，
          因?yàn)?sub>，所以，                 
    14分
          當(dāng)時(shí)，
          所以。                                                  
16分
           
           
           
           
          
				
          
	
          
		
          


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