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遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈9：

極限

第   I   卷

一 選擇題（每小題5分，共60分）

1 某個命題與正整數有關，若時該命題成立，那么可推得時該命題也成立，現已知時，該命題不成立，則可以推得（    ）

A 時該命題成立                             B 時該命題不成立

C 時該命題成立                             D 時該命題不成立

2 下面四個命題中：

  （1）若是等差數列，則的極限不存在；

  （2）已知，當時，數列的極限為1或-1。

  （3）已知，則。

  （4）若，則，數列的極限是0。

其中真命題個數為（   ）

A 1                     B 2                     C 3                      D 4

3 如果存在，則的取值范圍是（   ）

 A         B        C            D

4 已知，那么數列在區(qū)間為任意小的正數）外的項有（   ）

   A 有限多項                        B 無限多項         

   C 0                               D 有可能有限多項也可能無限多項

5 下列數列中存在極限的是（  ）

A     B       C        D

6 （     ）

   A  1                  B                 C                       D 2

7 （  ）

 A 1                  B                    C                    D

8 已知，其中，則實數的取值范圍是（    ）

   A          B      C         D

9 在等比數列中，且前項的和為切滿足，則的取值范圍是（   ）

A             B               C                D

10  （    ）

A  4                B  8                C                    D

11 已知等比數列的公比為，則有，則首項的取值范圍是（  ）

A                           B

C                              D

1.      已知定義在上的函數同時滿足條件：①；②且 ③當時。若的反函數是，則不等式的解集為

（   ）

A             B               C               D

第   II    卷

二 填空題

13 若，則____________

14 已知函數，若存在，則的值為_________，

15 設常數，展開式中的系數為，則_____。

16已知拋物線與軸交于點A，將線段OA的等分點從坐到右依次記為，過這些分點分別作軸的垂線，與拋物線的交點依次是 ，從而得到個直角三角形，當 時，這些三角形的面積之和的極限為_________

三 解答題

17 已知函數在處連續(xù)，求實數的值。

18 已知是首項為1，公差為的等差數列，其前項和為；是首項為1，公為的等比數列，其前項和為，設，若， 

求實數和的值。

19 已知數列的通項公式為，記。

（1）寫出數列的前四項。

（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明。

（3）令，求。

20 已知數列中，其前項和為，且滿足。

（1）求數列的通項公式。

（2）若數列滿足，為前項和，若，求實數的值。

21 若不等式對一切正整數都成立，求正整數 的最大值，并證明你的結論。

22 已知數列，與函數滿足條件：。

  （1）若，且存在，求實數的取值范圍，并用表示。

  （2）若函數為上的函數，，試證明對任意的。

1 D 解析：由已可知，該命題滿足數學歸納法定義，即存在某自然數，當時，對所有 均成立，而時，命題不成立，是針對命題不成立中的有限項，顯然針對時，

命題不會成立。，故選D。

2 A 解析：若為常數列，可知（1）為假命題；而由極限存在的唯一性，可知（2）也為假命題；對于（3）滿足極限定義可知是正確的；對于（4），由于與極限定義矛盾，應該趨于該數時的項，即不為0，故（4）也為假命題。故選A。

3 D 解析：當時，極限顯然不存在，而時，可得為常數數列存在極限，時，為擺動數列，極限不存在，故選D。

4 B解析：由，存在自然數，當時，無限趨于，而數列在區(qū)間為任意小的正數），即所有趨于的項應該有無數多項，選B。

5 D解析：容易知道A應該為項為0和2的擺動數列，不存在極限；B為包含三個項1，0，-1循環(huán)出現的數列，不存在極限；C一定不存在極限；而D中為兩個特征列，而時，故極限存在，故選D。

6 C解析：    

                                                                                                                                                                                                                                     ，選C。

7 C解析：                                        

     故有，選C。

8 C解析：當時，而當時， ，故選C。

9 D解析：                                                 

 ，故選D。

10 C 解析：原式=，選C。

11 D 解析：由可知或，故知D符合題意。

12 C 解析：由反函數定義可知，而，故函數是上的增函數，故有也是定義域上的增函數，由可知C符合題意。

13  解析：                                                     

14 解析：，

故易得

15 解析：，由由，所以，所以為1。

16 解析： 可分別表示各個三角形的面積后再求。，

， =，故

17解析：因為在處連續(xù)，則存在，即存在且相等，存在，則中必定含有因式。即是方程的根，故有，①則，

同樣存在， 則含有因式，則即是方程的根，即有，②故有，故有，③，故有，再由，故有。

18解析：由題可知，，故有

     ，故

，故有

，并項整理可得

，由極限定義，必有

19解析：（1）由，可得，于是有

（2）可猜測，現在用數學歸納法證明之。

① 當時，由于歸納已經證明符合猜測。

② 假設時，猜測成立，即，而

則有時，

  ，即對時，猜測仍然成立。

（3） ，

。

20解析：（1）

      ，化解可得

，由于，故有，即為公差為4的等差數列，再由，故有。

（2） 由有，

，故有

，由于其他部分為常數，故必然有存在，即有，此時有

21解析：當時。可猜測的最大值為25。下面用數學歸納法證明。

（1）時，命題成立已經證明。

（2）假設時，命題成立，即，

則當時，

=

故有

  ，即命題對于時也成立。

故的最大值為25。

22解析：（1）由題設可知，即，兩式子相減，可得，則是公比為的等比數列，首項為，

則，，左右兩邊分別相加可得，故可得

，由于存在，則

 存在，故有，故且

。

（2）因，故有，即 ，

下面用數學歸納法證明之。

①  當時，由為增函數，且，得

，即命題成立。

 ②  假設命題當時成立，即，則由為增函數，可得

    ，從而，

即命題對時仍然成立，故對任意的成立。