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練習(xí)冊

練習(xí)冊
試題

上海市靜安、楊浦、青浦、寶山四區(qū)2008學(xué)年第二學(xué)期高三年級

數(shù)學(xué)試卷

（文理合卷）

（滿分150分，答題時(shí)間120分鐘）　 2009.04

一、填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，每題5分，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．

1．直線的傾斜角為．

2．已知全集，集合，，則

= ．

3．若復(fù)數(shù)滿足，則= ．

4．二項(xiàng)式展開式中系數(shù)的值是．

5．（理）市場上有一種“雙色球”福利彩票，每注售價(jià)為2元，中獎(jiǎng)概率為6.71%，一注彩

票的平均獎(jiǎng)金額為14.9元．如果小王購買了10注彩票，那么他的期望收益是元．

（文）高三（1）班班委會由3名男生和2名女生組成，現(xiàn)從中任選2人參加上海世博會的志愿者工作，則選出的人中至少有一名女生的概率是．

6．（理）把化為積的形式，其結(jié)果為．

（文）如果某音叉發(fā)出的聲波可以用函數(shù)描述，那么音叉聲波的頻率是赫茲．

7．（理）已知是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．

（文）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)的值是．

8．（理）已知（），則的

值是．

（文）方程的解集是．

9．如圖是輸出某個(gè)數(shù)列前10項(xiàng)的框圖，則該數(shù)列第

3項(xiàng)的值是．

10. （理）在極坐標(biāo)系中,過圓的圓心,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是．

（文）若經(jīng)過點(diǎn)P（－1，0）的直線與圓相切，則此直線的方程是 .

11．（理）如圖，用一平面去截球所得截面的面積為

cm²，已知球心到該截面的距離為1 cm，則

該球的體積是 cm³.

（文）計(jì)算：= .

12．在△中，，，是邊的中點(diǎn)，則的值是 .

二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題4分．每題只有一個(gè)正確答案，選擇正確答案的字母代號并按照要求填涂在答題紙的相應(yīng)位置．

13．線性方程組的增廣矩陣是（）．

A． B． C． D．

14．在直角坐標(biāo)系中，已知△的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓

上，則的值是（）．

A． B． C．2 D．4

15. 以依次表示方程的根，則的大小順

序?yàn)椋?nbsp; ）．

A． B． C． D．

16．（理）已知數(shù)列，對于任意的正整數(shù)，，設(shè)表

示數(shù)列的前項(xiàng)和．下列關(guān)于的結(jié)論，正確的是（）．

A． B．

C．（） D．以上結(jié)論都不對

（文）如圖，下列四個(gè)幾何體中，它們的三視圖（主視圖、側(cè)視圖、俯視圖）有且僅有兩個(gè)

相同，而另一個(gè)不同的兩個(gè)幾何體是（）．

A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（4）

三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙上與題號對應(yīng)的區(qū)域?qū)懗霰匾牟襟E.

17．(本題滿分12分)

動(dòng)物園要建造一面靠墻的2間面積相同的長方形熊貓居室（如圖所示）．如果可供建造圍墻的材料長是30米，那么寬為多少米時(shí)才能使所建造的熊貓居室面積最大？熊貓居室的最大面積是多少平方米？

18. (本題滿分14分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分.

（理）在長方體中，，，．求：

（1）頂點(diǎn)到平面的距離；

（2）二面角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

（文）已知某圓錐的體積是cm³，底面半徑等于3cm．

（1）求該圓錐的高；

（2）求該圓錐的側(cè)面積．

19．(本題滿分15分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分.

（理）設(shè)數(shù)列的前和為，已知，，，，

一般地，（）．

（1）求；

（2）求；

（3）求和：．

（文）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為、，（其中）．

（1）求數(shù)列前項(xiàng)的和；

（2）求數(shù)列各項(xiàng)的和；

（3）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列前項(xiàng)的和．

20．(本題滿分15分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分10分.

已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)．

（1）若（），試求的取值范圍；

（2）若，，求函數(shù)的最小值．

21．(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分7分，第3小題滿分7分.

已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．

（1）設(shè)過點(diǎn)且斜率為-1的直線，與過點(diǎn)且斜率為1的直線相交于點(diǎn)P(4，4)，

求直線AB的斜率；

（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素：已知圓錐曲線G，過該圓錐曲線上的

相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線相交于圓錐曲線G上一點(diǎn)；結(jié)論是關(guān)于直線AB

的斜率的值．請你對問題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；

（3）若線段AB（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)．

（理）若，試用線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示線段AB的長度，并求出中點(diǎn)的縱坐

標(biāo)的取值范圍．

（文）若，試用表示線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

說明

1. 本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評分.

2. 評閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對該題的評閱. 當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分.

3. 第17題至第21題中右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分?jǐn)?shù).

4. 給分或扣分均以1分為單位.

答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

1．； 2．； 3．； 4．； 5．（理）元；（注：課本答案為）（文）0.7；

6．（理）；（文）200赫茲； 7．（理）5；（文）p=4．

8．（理）；（文）

9．； 10．（理）；（文）方程為．

11．（理）；（文）； 12．12．

13――16：A； C ； C；理B文A

17．設(shè)熊貓居室的總面積為平方米，由題意得：．… 6分

解法1：，因?yàn)?sub>，而當(dāng)時(shí)，取得最大值75． 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時(shí)，它的面積最大，最大值為75平方米． …… 12分

解法2：=75，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值75． …… 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時(shí)，它的面積最大，最大值為75平方米． …… 12分

18．理：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為、、、、、． ……2分

設(shè)平面的法向量為，則，．

因?yàn)?sub>，， ……3分

，，

所以解得，取，得平面一個(gè)法向量，且． ……5分

（1）在平面取一點(diǎn)，可得，于是頂點(diǎn)到平面的距離，所以頂點(diǎn)到平面的距離為， ……8分

（2）因?yàn)槠矫?sub>的一個(gè)法向量為，設(shè)與的夾角為a，則

， ……12分

結(jié)合圖形可判斷得二面角是一個(gè)銳角，它的大小為．……14分

文：（1）圓錐底面積為 cm²， ……1分

設(shè)圓錐高為cm，由體積， ……5分

由cm³得cm； ……8分

（2）母線長cm， ……9分

設(shè)底面周長為，則該圓錐的側(cè)面積=， ……12分

所以該圓錐的側(cè)面積=cm²． ……14分

19．（理）（1）； ……3分

（2）當(dāng)時(shí)，（）

， ……6分

所以，（）． ……8分

（3）與（2）同理可求得：， ……10分

設(shè)=，

則，（用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法），相減得

，所以

． ……14分

（文）（1）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，則． ……3分

（2）公比，所以由無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和公式得：

數(shù)列各項(xiàng)的和為=1． ……7分

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=

； ……11分

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=． ……14分

即． ……15分

20．（1）即，又，2分

所以，從而的取值范圍是． ……5分

（2），令，則，因?yàn)?sub>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，8分

由解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是； ……11分

下面求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為． ……12分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)的證明：任取，，因?yàn)?sub>，，所以，，由單調(diào)性的定義函數(shù)在上為減函數(shù)．

于是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值． ……15分

21．（1）由解得；由解得．

由點(diǎn)斜式寫出兩條直線的方程，，

所以直線AB的斜率為． ……4分

（2）推廣的評分要求分三層

一層:點(diǎn)P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般（3分，問題1分、解答2分）

例：1．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)且斜率為-1的直線，與過點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P，求直線AB的斜率；

2．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)且斜率為-k 1的直線，與過點(diǎn)且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點(diǎn)P（4，4），求直線AB的斜率；

3．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)且斜率為-1的直線，與過點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．

二層:兩個(gè)一般或推廣到其它曲線（4分，問題與解答各占2分）

例：4．已知點(diǎn)R是拋物線上的定點(diǎn)．過點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線AB的斜率．

三層:滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或?qū)λ袌A錐曲線成立的想法．）（7分，問題3分、解答4分）

例如：5.已知拋物線上有一定點(diǎn)P，過點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線AB的斜率．

過點(diǎn)P（），斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為，，其中。

由得，所以

同理，把上式中換成得，所以

當(dāng)P為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率不存在，當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率為。

（3）（理）點(diǎn)，設(shè)，則．

設(shè)線段的中點(diǎn)是，斜率為，則=．12分

所以線段的垂直平分線的方程為，

又點(diǎn)在直線上，所以，而，于是． ……13分

(斜率

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