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第十五單元  空間中有關(guān)角、距離的計(jì)算

一.選擇題

(1)已知則與的夾角等于                                              (       )

A．90°                      B．30°                C．60°                          D．150°

(2) 正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中,E、F分別是棱AB, BB₁的中點(diǎn),A₁E與C₁F所成的角是θ，則                                                                                                                                (       )

A．θ=60⁰                      B．θ=45⁰               C．               D．

(3)設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，，，則△BCD是                                                                                           (       )

A．鈍角三角形           B．直角三角形        C．銳角三角形            D．不確定

(4) 如圖，長(zhǎng)方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是DD₁、AB、CC₁的中點(diǎn)，則異面直線A₁E與GF所成的角是                                        (       )

     A．            B．

     C．            D．

(5) 把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起,當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為                                                               (       )

      A． 90°                         B． 60°                   C． 45°                     D． 30°

(6) 如圖,在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中,P是側(cè)面

BB₁C₁C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若P到直線BC與直線C₁D₁的

距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是                                                                        (       )

A．  直線  

B．  圓

C．  雙曲線

D．  拋物線

(7) 在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,若AB=BB₁, 則A B₁與C₁B所成角的大小為    (       )

A ． 60°                         B．  90°                C．  105°                   D．  75°

(8) 在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=2，A A₁=1，則點(diǎn)A到平面A₁BC的距離為       (       )

A．                        B．                    C．               D．

(9) 將=60⁰,邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成二面角,若[60°,120°], 則折后兩條對(duì)角線之間的距離的最值為                                  (       )

A．最小值為, 最大值為    B．最小值為, 最大值為

C．最小值為, 最大值為    D．最小值為, 最大值為

(10) 如圖，正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，O是底面A₁B₁C₁D₁的中心，則O到平面AB C₁D₁的距離為　                                           (       )

A．　                                     B．　                           

C．　                                    D．

二.填空題

(11) 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中, ∠A₁B₁C₁=90°, 且AB=BC=BB₁, E, F分別是AB, CC₁的中點(diǎn), 那么A₁C與EF所成的角的余弦值為          .

(12) 如圖，在三棱錐P―ABC中，PA=PB=PC=BC，且，則PA與底面ABC所成角為                  ..

(13) 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，C、D分別是兩條棱的中點(diǎn)，A、B、M是頂點(diǎn)，那么點(diǎn)M到截面ABCD的距離是         .

(14) 已知平面α和平面β交于直線，P是空間一點(diǎn)，PA⊥α，垂足為A，PB⊥β，垂足B，且PA=1，PB=2，若點(diǎn)A在β內(nèi)的射影與點(diǎn)B在α內(nèi)的射影重合，則點(diǎn)P到的距離為

               .

三.解答題

(15) 如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，過(guò)其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于、．將沿折起到的位置，使點(diǎn)在平面上的射影恰是線段BC的中點(diǎn)M．求：二面角的大小

(16) 在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大��；

（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面CMN的距離.

(17) 已知直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求異面直線與DC所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

(18) 如圖3所示，在四面體P―ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是線段PB上一點(diǎn)，，點(diǎn)E在線段AB上，且EF⊥PB.

   （Ⅰ）證明：PB⊥平面CEF；

   （Ⅱ）求二面角B―CE―F的大小.

一選擇題:

1.D  

[解析]：以D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系

2.C  

[解析]：

3.C  

[解析]：

是銳角

同理, D,C都是銳角.故△BCD是銳角三角形.

4.D  

[解析]：以D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系

               異面直線A₁E與GF所成的角是

5.C  

[解析]：

              如圖,當(dāng)平面BAC平面DAC時(shí), 三棱錐體積最大

取AC的中點(diǎn)E,則BE平面DAC,

故直線BD和平面ABC所成的角為DBE

 cosDBE=,∴DBE=45⁰

6.D 

[解析]：∵P到直線直線C₁D₁的距離就是P到C₁的距離,

∴點(diǎn)P到直線BC與點(diǎn)C₁的距離相等

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是以C₁為焦點(diǎn)、以直線BC為準(zhǔn)線的拋物線

7.B 

[解析]：以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，AC，AA₁為y,z軸，垂直于平面AA₁C₁C直線為x軸，則

                故 =0

8.B  

[解析]：點(diǎn)A到平面A₁BC的距離為h

              ∵

∴

∴

∴

9.B 

[解析]：

           由題設(shè)ED=,E、F分別是中點(diǎn)

則折后兩條對(duì)角線之間的距離為EF的長(zhǎng)

在中，ED=，BE=DE=

當(dāng)=120°時(shí)，EF的最小值為,當(dāng)=60°時(shí)，EF的最大值為

10.B

[解析]：過(guò)O作EF//C₁D₁分別交A₁C₁、B₁D₁于E、F，

               ∵EF//平面ABC₁D₁，∴O到平面AB C₁D₁的距離等于E到平面AB C₁D₁的距離，而E到平面AB C₁D₁的距離為

二填空題:

11.         

[解析]：分別以BA、BC、BB₁為ox、oy、oz軸，則

12.   

[解析]：∵PA=PB=PC，∴P在底面的射影E是ABC的外心，又

故E是BC的中點(diǎn)，所以 PA與底面ABC所成角為PAE，

而PAE=。

13.  

[解析]：分別取AB、CD的中點(diǎn)E、F，連EF，過(guò)M作MNEF于N，再作

EGMF于G

則MN的長(zhǎng)為點(diǎn)M到截面ABCD的距離。

先在EFG中計(jì)算

再在MFN中計(jì)算MN=MF=

14.

[解析]：∵點(diǎn)A在β內(nèi)的射影與點(diǎn)B在α內(nèi)的射影重合，

∴αβ

設(shè)射影為點(diǎn)C，點(diǎn)P到的距離為PC的長(zhǎng)，

而PC為矩形PACB的對(duì)角線

∴PC=

三解答題

(15) 解（Ⅰ）連接AM，A₁G

∵G是正三角形ABC的中心，

且M為BC的中點(diǎn)，

∴A，G，M三點(diǎn)共線，AM⊥BC．

∵B₁C₁∥BC，

∴B₁C₁⊥AM于G，

即GM⊥B₁C₁，GA₁⊥B₁C₁，

∴∠A₁GM是二面角A₁―B₁C₁―M的平面角．

∵點(diǎn)A₁在平面BB₁C₁C上的射影為M，

∴A₁M⊥MG，∠A₁MG=90°

在Rt△A₁GM中，由A₁G=AG=2GM得∠A₁GM=90°

即二面角A₁―B₁C₁―M的大小是60°

.

 (16) 解法一：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)D，連結(jié)SD、DB.

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.過(guò)N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，過(guò)E作EF⊥CM于F，連結(jié)NF，則NF⊥CM.∴∠NFE為二面角

N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴

SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，

且ED=EB.在正△ABC中，由平幾知識(shí)可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的大小是arctan2.

（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，∴S_△CMN=CM?NF=，S_△CMB=BM?CM=2.

設(shè)點(diǎn)B到平面CMN的距離為h，∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，∴S_△CMN?h=S_△CMB?NE，

∴h==.即點(diǎn)B到平面CMN的距離為.

解法二：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB.∵

SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=

AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵?=（-4，0，0）?（0，2，2）=0，∴AC⊥SB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，）.設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，則

      _{?n=3x+y=0，}

                            取z=1，則x=，y=-，∴n=(，-，1)，

?n=-x+z=0，

又=(0，0，2)為平面ABC的一個(gè)法向量， ∴cos(n，)==.

∴二面角N-CM-B的大小為arccos.

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（-1，，0），n=（，-，1）為平面CMN的一個(gè)法向量，

∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d==.

(17) [解法一]由題意AB//CD，是異面直線BC₁與DC所成的角.

連結(jié)AC₁與AC，在Rt△ADC中，可得，

又在Rt△ACC₁中，可得AC₁=3.

在梯形ABCD中，過(guò)C作CH//AD交AB于H，

得

又在中，可得，

在

∴異而直線BC₁與DC所成角的大小為

 [解法二]如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD、DC、DD₁所在直線為x、y、z軸建立直

角坐標(biāo)系.

則C₁（0，1，2），B（2，4，0）

所成的角為，

則

∴異面直線BC₁與DC所成角的大小為

（18（I）證明：∵，

∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形．

同理可證：△PAB是以∠PAB為直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形．

所以，PA⊥平面ABC．

又∵，

而，

故CF⊥PB,又已知EF⊥PB，

∴PB⊥平面CEF．

（II）由（I）知PB⊥CE,   PA⊥平面ABC，

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE．

在平面PAB內(nèi)，過(guò)F作FF₁垂直AB交AB于F1，則FF₁⊥平面ABC，

EF₁是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC，

故∠FEB是二面角B―CE―F的平面角．

二面角B―CE―F的大小為

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