09年北京中考數(shù)學一模壓軸題精選
【海淀一�！�1、我們給出如下定義：如果四邊形中一對頂點到另一對
頂點所連對角線的距離相等，則把這對頂點叫做這個
四邊形的一對等高點.例如：如圖1,平行四邊形ABCD
中，可證點A、C到BD的距離相等，所以點A、C是
平行四邊形ABCD的一對等高點，同理可知點B、D
也是平行四邊形ABCD的一對等高點. 圖1
（1）如圖2，已知平行四邊形ABCD, 請你在圖2中畫出一個只有一對等高點的四
邊形ABCE（要求：畫出必要的輔助線）；
（2）已知P是四邊形ABCD對角線BD上任意一點（不與B、D點重合），請分別
探究圖3、圖4中S1, S2, S3, S4四者之間的等量關(guān)系(S1, S2, S3, S4分別表示△ABP,
△CBP, △CDP, △ADP的面積)：
① 如圖3，當四邊形ABCD只有一對等高點A、C時，你得到的一個結(jié)論是 ________；
② 如圖4，當四邊形ABCD沒有等高點時，你得到的一個結(jié)論是
____________.
圖2 圖3 圖4
【海淀一�！�2、已知: 關(guān)于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根為正實數(shù)，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc
（c≠0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標為1.
（1）若方程①的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；
（2）求代數(shù)式
的值；
（3）求證: 關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有兩個不相等的實數(shù)根.
【海淀一�！�3、在課外小組活動時，小慧拿來一道題（原問題）和小東、小明交流.
原問題：如圖1，已知△ABC, ∠ACB=90° , ∠ABC=45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，連接DE交AB于點F. 探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系.
小慧同學的思路是：過點D作DG⊥AB于G,構(gòu)造全等三角形，通過推理使問
題得解.
小東同學說:我做過一道類似的題目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.
小明同學經(jīng)過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況.
請你參考小慧同學的思路，探究并解決這三位同學提出的問題：
（1）寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原問題中的其他條件不變，你在
（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC, 原問題中的其他條件不變，你在（1）中
得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明.
【海淀一�！�4、已知拋物線經(jīng)過點 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，與x軸正半軸交于點D.
（1）求此拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）在x軸上求一點E, 使得△BCE是以BC為底邊的等腰三角形；
（3）在（2）的條件下，過線段ED上動點P作直線PF//BC, 與BE、CE分別交于
點F、G，將△EFG沿FG翻折得到△E¢FG. 設(shè)P（x, 0）, △E¢FG與四邊形FGCB
重疊部分的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍.
【東城一�！�5、已知：關(guān)于
的一元二次方程
（1）若
求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若12＜m＜40的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求
的值．
（東城）
24. （本題滿分7分）在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（-1，0），如圖所示，拋物線
經(jīng)過點B．
（1）求點B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【東城一�！�6、請閱讀下列材料：
圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．即如右圖1,若弦AB、CD交于點P則PA?PB=PC?PD．請你根據(jù)以上材料，解決下列問題.
已知⊙O的半徑為2，P是⊙O內(nèi)一點，且OP=1，過點P任作一弦AC，過A、C兩點分別作⊙O的切線m和n，作PQ⊥m于點Q，PR⊥n于點R.（如圖2）
(1)若AC恰經(jīng)過圓心O,請你在圖3中畫出符合題意的圖形，并計算：
的值；
(2)若OP⊥AC, 請你在圖4中畫出符合題意的圖形，并計算：的值；
(3)若AC是過點P的任一弦（圖2）, 請你結(jié)合(1)(2)的結(jié)論, 猜想：的值，并給出證明．
【房山一�！�7、已知關(guān)于x的一元二次方程kx2＋（3k＋1）x＋2k＋1＝0.
（1）求證：該方程必有兩個實數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別是
，若y1是關(guān)于x的函數(shù)，且
，其中m=
,求這個函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)y2＝kx2＋（3k＋1）x＋2k＋1，若該一元二次方程只有整數(shù)根，且k是小于0 的整數(shù).結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當自變量x滿足什么條件時，y2>y1?
【房山一�！�8、已知：二次函數(shù)y=ax2-x+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸是直線x=
，且圖象向右平移一個單位后經(jīng)過坐標原點O.
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的外接圓圓心D的坐標及⊙D的半徑；
（3）設(shè)⊙D的面積為S,在拋物線上是否存在點M，使得S△ACM=
，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.
【房山一�！�9、已知：△ABC和△ADE均為等腰直角三角形, ∠ABC＝∠ADE=
， AB= BC，AD=DE，按圖1放置，使點E在BC上，取CE的中點F，聯(lián)結(jié)DF、BF.
（1）探索DF、BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；
（2）將圖1中△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)
，再聯(lián)結(jié)CE，取CE的中點F（如圖2），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論；
（3）將圖1中△ADE繞A點轉(zhuǎn)動任意角度（旋轉(zhuǎn)角在
到之間），再聯(lián)結(jié)CE，取CE的中點F（如圖3），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論
圖1 圖2 圖3
【門頭溝一模】10、已知以x為自變量的二次函數(shù)y=x2＋2mx＋m－7．
（1）求證：不論m為任何實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）若二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點在點（1，0）的兩側(cè)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2＋(
（3）在（2）的條件下，關(guān)于x的另一方程 x2＋2(a＋m)x＋
【門頭溝一�！�11、在平面直角坐標系xOy中，拋物線 y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B 兩點（點A在
點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，且點B的坐標為（1，0）， 點C的坐標
為（0，3）．
（1）求拋物線及直線AC的解析式；
（2）E、F是線段AC上的兩點，且∠AEO＝∠ABC，過點F作與y軸平行的直線交拋物線于點M，交x軸于點N．當MF=DE時，在x軸上是否存在點P，使得以點P、A、F、M為頂點的四邊形是梯形？ 若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是位于拋物線對稱軸左側(cè)圖象上的一點，試比較銳角∠QCO與∠BCO 的大�。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果，不要求寫出求解過程，但要寫出此時點 Q的橫坐標x的取值范圍）．
【門頭溝一�！�12、如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,點E在AB上， F是線段BD的中點，連結(jié)CE、FE.
（1）請你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）；
（2）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使△AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連結(jié)BD，取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3），連結(jié)BD，取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．
【延慶一�！�13、（本題滿分4分）
如圖1，把一張標準紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙…．已知標準紙的短邊長為
．
（1）如圖2，把這張標準紙對開得到的“16開”紙按如下步驟折疊：
第一步：將矩形的短邊
與長邊
對齊 折疊， 點
落在上的點
處，鋪平后 得折痕
；
第二步：將長邊與折痕對齊折疊，點
正好與點
重合，鋪平后得折痕
．則
的值是 .
（2）求“2開”紙長與寬的比__________.
（3）如圖3，由8個大小相等的小正方形構(gòu)成“
”型圖案，它的四個頂點
分別在“16開”紙的邊
上，求
的長．
 |
【延慶一�！�14、 閱讀理解：對于任意正實數(shù)
，
，
，
，只有當
時，等號成立．
結(jié)論：在
（均為正實數(shù)）中，若
為定值
，則
，
只有當時，
有最小值
．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
（1） 若
，只有當
時，
有最小值
．
（2） 探索應用：已知
，
，點P為雙曲線
上的任意一點，過點
作
軸于點
，
．
求四邊形
面積的最小值，并說明此時四邊形的形狀．
 |
【延慶一�！�15、如圖24－1，正方形ABCD和正方形QMNP， M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
（1）猜想：ME 與MF的數(shù)量關(guān)系
（2）如圖24－2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且∠M =∠B，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
（3）如圖24－3，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB:BC=1:2，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（4）如圖24－4，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且∠M =∠B ，
AB:BC = m，其它條件不變，求出ME：MF的值。（直接寫出答案）
【延慶一�！�16、
在平面直角坐標系中，拋物線
的對稱軸為x=2,且經(jīng)過B（0，4），C（5，9），直線BC與x軸交于點A.
（1）求出直線BC及拋物線的解析式.
（2）D（1，y）在拋物線上，在拋物線的對稱軸上是否存在兩點M、N，且MN=2 ，點M在點N的上方，使得四邊形BDNM的周長最小，若存在，求出M 、N兩點的坐標，若不存在，請說明理由.
（3）現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線BC距離為
的點P．
09年北京中考壓軸題精選答案
（海淀一模）1．解：
 |
（1）比如： 或 ………………1分
（2）①S1 +S4 = S2 +S3, S1
+S3 = S2 +S4或S1×S3 = S2×S4或
等. ……………2分
②S1×S3 = S2×S4或
等. ……………………………………………4分
（海淀一模）2、（1）解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.
依題意 k-1≠0.
∴ 
. ……………………………………………………………1分
∵ 方程的根為正整數(shù)，k為整數(shù),
∴ k-1=1或k-1=2.
∴ k1= 2, k2=3. ……………………………………………………………2分
（2）解：依題意，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc的圖象經(jīng)過點（1，0），
∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a .
∴
=
…………………………3分
（3）證明：方程②的判別式為 Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 則
根. ………………………………………………………………4分
( ii ) 證法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.
Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac
=(a-kc)2+
∵ 方程kx=x+2的根為正實數(shù)，
∴ 方程(k-1) x=2的根為正實數(shù).
由 x>0, 2>0, 得 k-1>0. …………………………………………………6分
∴ 4ac(k-1)>0.
∵ (a-kc)2³0,
∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根. …………7分
證法二: 若ac>0,
∵ 拋物線y=ax2-bx+kc與x軸有交點,
∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc³0.
(b2
由證法一知 k-1>0,
∴ b2-4ac> b2-4akc³0.
∴ Δ= b2-4ac>0. 此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根. …………………7分
綜上, 方程②有兩個不相等的實數(shù)根.
（海淀一模）
3、 解: （1）DF= EF. …………………………………………………1分
（2）猜想：DF= FE.
證明：過點D作DG⊥AB于G, 則∠DGB=90°.
∵ DA=DB, ∠ADB=60°.
∴ AG=BG, △DBA是等邊三角形.
∴ DB=BA.
∵ ∠ACB=90° , ∠ABC=30°,
∴ AC=
AB=BG. …………………………………………………………2分
∴ △DBG≌△BAC.
∴ DG=BC. ……………………………………………………3分
∵ BE=EC, ∠BEC=60° ,
∴ △EBC是等邊三角形.
∴ BC=BE, ∠CBE=60°.
∴ DG= BE, ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .
∵ ∠DFG =∠EFB, ∠DGF =∠EBF,
∴ △DFG≌△EFB.
∴ DF= EF. ……………………………………………………4分
（3）猜想：DF= FE.
證法一：過點D作DH⊥AB于H, 連接HC, HE, HE交CB于K, 則∠DHB=90°.
∵ DA=DB,
∴ AH=BH, ∠1=∠HDB.
∵ ∠ACB=90°,
∴ HC=HB.
∵ EB=EC, HE=HE,
∴ △HBE≌△HCE. ……………………………5分
∴ ∠2=∠3, ∠4=∠BEH.
∴ HK⊥BC.
∴ ∠BKE=90°. ……………………………6分
∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC,
∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°，
∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.
∴ DB//HE, DH//BE.
∴ 四邊形DHEB是平行四邊形.
∴ DF=EF. ………………………………………………………………………7分
證法二：分別過點D、E作DH⊥AB于H, EK⊥BC于K, 連接HK, 則
∠DHB=∠EKB=90°.
∵ ∠ACB=90°,
∴ EK//AC.
∵ DA=DB, EB=EC,
∴ AH=BH, ∠1=∠HDB,
CK=BK, ∠2=∠BEK.
∴ HK//AC.
∴ 點H、K、E在同一條直線上. …………………5分
下同證法一.
（海淀一模）4、解:（1）依題意, 設(shè)所求拋物線的解析式為
, 則
………………1分
∴ 所求拋物線的解析式為 
. ……………………………………2分
由
, 解得x1=4, x2= -3.
∴ D(4, 0). …………………………………………………………………………3分
（2）如圖, 過點C作CN⊥x軸于N, 過點E、B分別
作x軸、y軸的垂線，兩線交于點M.
∴ ∠M=∠CNE=90°.
設(shè)E(a, 0), EB=EC.
∴ BM2+EM2= CN2+EN2.
∴ 
.
解得 a=-1.
∴ E( -1, 0). ……………………………4分
（3）可求得直線BC的解析式為y=-x+5.
從而直線BC與x軸的交點為H(5, 0).
如圖，根據(jù)軸對稱性可知S△E ¢FG=S△EFG,
當點E¢在BC上時，點F是BE的中點.
∵ FG//BC,
∴ △EFP∽△EBH.
可證 EP=PH.
∵ E(-1,0), H(5, 0),
∴ P(2, 0). ……………………………5分
( i ) 如圖, 分別過點B、C作BK⊥ED于K,
CJ⊥ED于J ,
則
.
當-1< x £2時，
∵ PF//BC,
∴ △EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC.
∴ 
, 
∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0),
∴ EP=x+1, EH=6.
∴ 
. …………………6分
( ii ) 如圖，當2< x £4時, 在x軸上截取一點Q, 使得PQ=HP, 過點Q作
QM//FG, 分別交EB、EC于M、N.
可證S=S四邊形MNGF, △ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC.
∴ 
, 
∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0),
∴ EH=6，PQ=PH=5-x, EP=x+1,
EQ=6-2(5-x)=2x-4.
∴
……………7分
同（i）可得 
，
∴ 
.…………8分
綜上，
（東城一模）5、（1）證明： 
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根�！撤�
（2）
∵方程有兩個整數(shù)根，必須使
且m為整數(shù)．
又∵12＜m＜40，
∴ 5＜
＜9．
∴m=24……７分
（東城一模）6
、解：(1)過點B作
，垂足為D，
∵
∴
又∵
∴△
≌△
,
∴
=
=1，
=
=2；
∴點B的坐標為（-3，1）； …………… 2分
（2）拋物線經(jīng)過點B(-3,1)，則得到
，
解得
，∴拋物線解析式為
； ………………3分
（3）方法一：①若以AC為直角邊，點C為直角頂點；
則可以設(shè)直線ＢＣ交拋物線于點
，
由題意，直線ＢＣ的解析式為：
，
解得
∴P1（1，-1）．………４分
②若以AC為直角邊，點A為直角頂點；
則過點Ａ作ＡＦ∥ＢＣ，交拋物線于點
，
由題意，直線ＡＦ的解析式為
綜上所述，在拋物線上存在點
使△ACP是以AC為直角邊的等腰直角三角形。
方法二：①若以AC為直角邊，點C為直角頂點；
則延長
至點，使得
，得到等腰直角三角形△
，過點作
,
∵
1=
，
，
；∴△
≌△
∴
=
=2, ∴
=
=1, 可求得點P1（1，-1）；…………………4分
經(jīng)檢驗點P1（1，-1）在拋物線上，使得△是等腰直角三角形；
………………… 5分
②若以AC為直角邊，點A為直角頂點；則過點A作
,且使得
,
得到等腰直角三角形△
,過點P2作
，同理可證△
≌△；
∴
==2, 
== 1, 可求得點（2，1）；……………… 6分
經(jīng)檢驗點（2，1）也在拋物線上，使得△也是等腰直角三角形．
………………7分
（東城一模）7、解：（１）ＡＣ過圓心Ｏ，且m,n分別切⊙O于點A,C
(2)連接OA
∴△AEC∽△PAQ．
①
同理可得：
②
①+②，得
（房山一模）8、（1）證明：△＝
＝
＝
＝
≥0
------------1分
∴方程必有兩個實數(shù)根 -------------2分
（2）用求根公式解出
，-------3分
∴=
∴
----------4分
（3）∵方程只有整數(shù)根且k是小于0 的整數(shù)
∴k＝-1 ----------5分
∴
＝-x2-2x-1
=x-1
----------------6分
在坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象，由圖象可知：當-3<x<0時， >.---------7分
（房山一模）9、解：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x＝
∴－
∴a＝1， ----------------------------1分
∵拋物線向右平移一個單位過坐標原點（0，0），∴原拋物線過點（－1，0）
∴c＝－2
∴拋物線的解析式為 
---------------------------2分
（2）∵OC＝OB＝2，線段BC的垂直平分線為直線y=－x
∵拋物線的對稱軸為直線x=
∴△ABC外接圓⊙D的圓心D（，－）
----------------------3分
∵∠ABC＝45°，∴∠ADC＝90°
∵AC＝
,
∴AD=
，即△ABC外接圓半徑為-----4分
（3）
∵S=
，=6，
∴S△ACM=6 ----------5分
過點M作EF∥AC交x軸于E，交y軸于F，
A（－1，0），B（2，0），C（0，－2）
∴直線EF的解析式為：
------------------------6分
設(shè)點M的坐標為(x,
)
∵M(x,)在直線EF上
∴=
+10,∴ 
，
∴在拋物線上存在點M使得S△ACM=,且M1（3，4），M2（-4，18）.----------7分
（房山一模）10、 解：（1）DF=BF且DF⊥BF.-----------------1分
證明：如圖1：
∵∠ABC＝∠ADE=，AB= BC，AD=DE
∴ ∠CDE=，∠AED=∠ACB=45°
∵F為CE的中點
∴ DF=EF=CF=BF，
∴ DF=BF； ------------------2分
∴ ∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，
∴∠EGF＋∠CGF＝2∠DCB=90°， 圖1
即：∠DFB＝，
∴DF⊥BF. -------------------3分
(2)仍然成立.
證明：如圖2，延長DF交BC于點G，
∵∠ABC＝∠ADE=
∴ DE∥BC，
∴∠DEF=∠GCF，
又∵ EF=CF，∠DFE=∠GFC
∴ △DEF≌△GCF，∴DE=CG，DF=FG-----------4分
∵AD=DE，AB=BC，∴AD=CG
∴ BD＝BG ---------------5分
又∵∠ABC＝
圖2
∴ EG=CG且EG⊥CG. ---------------6分
(3)仍然成立.
證明：如圖3，延長BF至點G，使FG＝BF，聯(lián)結(jié)DB、DG，GE
∵EF=CF, ∠EFG=∠CFB
∴ △EFG≌△CFB，
∴ EG=CB，∠EGF＝∠CBF，
∴EG∥CB，
∵AB= BC，AB⊥CB,∴ EG=AB，EG⊥AB，
∵∠ADE=90°，EG⊥AB
∴∠DAB=∠DGE
∴ △DAB≌△DEG，
∴ DG=DB, ∠ADB=∠EDG -----------------7分
∴∠BDG=∠ADE=90° 圖3
∴△BGD為等腰直角三角形，
∴ DF=BF且DF⊥BF. ----------------8分
（門頭溝一模）11、（1）證明：令
．
得△=
=
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