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        1. 2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(遼寧卷)

          數(shù)  學(供理科考生使用)

          本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.第Ⅰ卷1至2頁,第Ⅱ卷3至4頁,考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回.

                                     第Ⅰ卷(選擇題共60分)

          參考公式:

          如果事件A、B互斥,那么                         球的表面積公式

            P(A+B)=P(A)+P(B)                               S=4

          如果事件A、B相互獨立,那么                     其中R表示球的半徑

            P(A?B)=P(A)?P(B)                            球的體和只公式

          如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p,

          那么n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率   V=

                        其中R表示球的半徑

          一、選擇題

          1.已知集合,則集合為(   )

            A.    B.    C.    D.

          答案:C

          解析:本小題主要考查集合的相關運算知識。依題,∴,

          試題詳情

          2.等于(   )

            A.    B.    C.    D.

          答案:B

          解析:本小題主要考查對數(shù)列極限的求解。依題

          試題詳情

          3.圓與直線沒有公共點的充要條件是(   )

            A.    B.

          C.    D.

          答案:C

          解析:本小題主要考查直線和圓的位置關系。依題圓與直線沒有公共點

          試題詳情

          4.復數(shù)的虛部是(   )

            A.    B.    C.    D.

          答案:B

          解析:本小題主要考查復數(shù)的相關運算及虛部概念。依題: ∴虛部為

           

          試題詳情

          5.已知是平面上的三個點,直線上有一點,滿足,則等于(   )

            A.    B.    C.    D.

          答案:A

          解析:本小題主要考查平面向量的基本定理。

          依題∴

           

          試題詳情

          6.設為曲線上的點,且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍是,則點橫坐標的取值范圍是(   )

            A.    B.    C.    D.

          答案:A

          解析:本小題主要考查利用導數(shù)的幾何意義求切線斜率問題。依題設切點的橫坐標為,且(為點P處切線的傾斜角),又∵,∴,

           

          試題詳情

          7.4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為(   )

            A.    B.    C.    D.

          答案:C

          解析:本小題主要考查等可能事件概率求解問題。依題要使取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù),則取出的2張卡片上的數(shù)字必須一奇一偶,∴取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率

          試題詳情

          8.將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象,則等于(   )

            A.    B.    C.    D.

          答案:A

          解析:本小題主要考查函數(shù)圖像的平移與向量的關系問題。依題由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象,需將函數(shù)的圖象向左平移1個單位,向下平移1個單位;故

           

          試題詳情

          9.生產(chǎn)過程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,現(xiàn)從甲乙丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序,第一道工序只能從甲乙兩工人中安排1人,第四道工序只能從甲丙兩工人中安排1人,則不同的安排方案有(   )

            A.24種      B.36種       C.48種    D.72種

          答案:B

          解析:本小題主要考查排列組合知識。依題若第一道工序由甲來完成,則第四道工序必由丙來完成,故完成方案共有種;若第一道工序由乙來完成,則第四道工序必由甲、丙二人之一來完成,故完成方案共有種;∴則不同的安排方案共有種。

          試題詳情

          10.已知點是拋物線上的一個動點,則點到點的距離與到該拋物線準線的距離之和的最小值為(   )

            A.      B.       C.    D.

          答案:A

          解析:本小題主要考查拋物線的定義解題。依題設在拋物線準線的投影為,拋物線的焦點為,則,依拋物線的定義知到該拋物線準線的距離為,則點到點的距離與到該拋物線準線的距離之和

           

          試題詳情

          11.在正方體中,分別為棱的中點,則在空間中與三條直線都相交的直線(   )

            A.不存在    B.有且只有兩條    C.有且只有三條    D.有無數(shù)條

          答案:D

          解析:本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題,考查學生的空間想象能力。在EF上任意取一點M,直線與M確定一個平面,這個平面與CD有且僅有1個交點N, 當M取不同的位置就確定不同的平面,從而與CD有不同的交點N,而直線MN與這3條異面直線都有交點的.如右圖:

           

          試題詳情

          12.設是連續(xù)的偶函數(shù),且當時是單調(diào)函數(shù),則滿足的所有之和為(   )

            A.    B.    C.    D.

          答案:C

          解析:本小題主要考查函數(shù)的奇偶性性質(zhì)的運用。依題當滿足時,即時,得,此時又是連續(xù)的偶函數(shù),∴,∴另一種情形是,即,得,∴∴滿足的所有之和為

           

          第Ⅰ卷(選擇題共60分)

          試題詳情

          二、填空題

          13.函數(shù)的反函數(shù)是____________________.

          答案:

          解析:本小題主要考查求反函數(shù)基本知識。求解過程要注意依據(jù)函數(shù)的定義域進行分段求解以及反函數(shù)的定義域問題。

           

          試題詳情

          14.在體積為的球的表面上有三點,兩點的球面距離為,則球心到平面的距離為______________.

          答案:      

          解析:本小題主要考查立體幾何球面距離及點到面的距離。設球的半徑為,則,∴設、兩點對球心張角為,則,∴,∴,∴為所在平面的小圓的直徑,∴,設所在平面的小圓圓心為,則球心到平面ABC的距離為

          試題詳情

          15.已知的展開式中沒有常數(shù)項,,則______.

          答案:5

          解析:本小題主要考查二項式定理中求特定項問題。依題對中,只有時,其展開式既不出現(xiàn)常數(shù)項,也不會出現(xiàn)與、乘積為常數(shù)的項。

          試題詳情

          16.已知,且在區(qū)間有最小值,無最大值,則__________.

          答案:

          解析:本小題主要針對考查三角函數(shù)圖像對稱性及周期性。依題且在區(qū)間有最小值,無最大值,∴區(qū)間為的一個半周期的子區(qū)間,且知的圖像關于對稱,∴,取得

           

          試題詳情

          三、解答題

          17.在中,內(nèi)角對邊的邊長分別是.已知.

          ⑴若的面積等于,求;

          ⑵若,求的面積.

          說明:本小題主要考查三角形的邊角關系,三角函數(shù)公式等基礎知識,考查綜合應用三角函數(shù)有關知識的能力.滿分12分.

          解析:(Ⅰ)由余弦定理及已知條件得,,

          又因為的面積等于,所以,得.???????????????????????????? 4分

          聯(lián)立方程組解得,.?????????????????????????????????????????????????????? 6分

          (Ⅱ)由題意得,

          即,???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

          當時,,,,,

          當時,得,由正弦定理得,

          聯(lián)立方程組解得,.

          所以的面積.?????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

           

          試題詳情

          18.某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量(單位:噸)進行統(tǒng)計,最近100周的統(tǒng)計結果如下表所示:

          周銷售量

          2

          3

          4

          頻數(shù)

          20

          50

          30

          ⑴根據(jù)上面統(tǒng)計結果,求周銷售量分別為2噸,3噸和4噸的頻率;

          ⑵已知每噸該商品的銷售利潤為2千元,表示該種商品兩周銷售利潤的和(單位:千元),若以上述頻率作為概率,且各周的銷售量相互獨立,求的分布列和數(shù)學期望.

          說明:本小題主要考查頻率、概率、數(shù)學期望等基礎知識,考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.

          試題詳情

          解析:(Ⅰ)周銷售量為2噸,3噸和4噸的頻率分別為0.2,0.5和0.3.??????????????????????? 3分

          (Ⅱ)的可能值為8,10,12,14,16,且

          試題詳情

          P(=8)=0.22=0.04,

          試題詳情

          P(=10)=2×0.2×0.5=0.2,

          試題詳情

          P(=12)=0.52+2×0.2×0.3=0.37,

          試題詳情

          P(=14)=2×0.5×0.3=0.3,

          試題詳情

          P(=16)=0.32=0.09.

          的分布列為

          8

          10

          12

          14

          16

          試題詳情

          0.04

          試題詳情

          0.2

          試題詳情

          0.37

          試題詳情

          0.3

          試題詳情

          0.09

          ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

          試題詳情

          =8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元)???????????????????????????????? 12分

           

          ⑴證明:平面和平面互相垂直;

          ⑵證明:截面和截面面積之和是

          定值,并求出這個值;

          ⑶若與平面所成的角為,求

          與平面所成角的正弦值.

          說明:本小題主要考查空間中的線面關系,面面關系,解三角形等基礎知識,考查空間想象能力與邏輯思維能力。滿分12分.

          解法一:

          (Ⅰ)證明:在正方體中,,,又由已知可得

          所以,,

          所以平面.

          所以平面和平面互相垂直.???????????????????????? 4分

          (Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知

          ,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是

          ,是定值.?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

          (III)解:連結BC′交EQ于點M

          因為,,

          所以平面和平面PQGH互相平行,因此與平面PQGH所成角與與平面所成角相等.

          與(Ⅰ)同理可證EQ⊥平面PQGH,可知EM⊥平面,因此EM的比值就是所求的正弦值.

          PF于點N,連結EN,由知

          因為⊥平面PQEF,又已知與平面PQEF成角,

          所以,即,

          解得,可知E為BC中點.

          所以EM=,又,

          與平面PQCH所成角的正弦值為.????????????????????????????????????????????????? 12分

          解法二:

          D為原點,射線DA,DC,DD′分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系D-xyz由已知得,故

          ,,,

          ,,.

          (Ⅰ)證明:在所建立的坐標系中,可得

          ,

          因為,所以是平面PQEF的法向量.

          因為,所以是平面PQGH的法向量.

          因為,所以,

          所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

          (Ⅱ)證明:因為,所以,又,所以PQEF為矩形,同理PQGH為矩形.

          在所建立的坐標系中可求得,,

          所以,又,

          所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為,是定值.????????????????????????????????????????????? 8分

          (Ⅲ)解:由已知得與成角,又可得

             ,

          即,解得.

          所以,又,所以與平面PQGH所成角的正弦值為

          .????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

          試題詳情

          20.在直角坐標系中,點到兩點的距離之和為4,設點的軌跡為,直線與交于兩點.

          ⑴寫出的方程;

          ⑵若,求的值;

          ⑶若點在第一象限,證明:當時,恒有.

          說明:本小題主要考查平面向量,橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關系等基礎知識,考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力.滿分12分.

          解析:

          (Ⅰ)設P(x,y),由橢圓定義可知,點P的軌跡C是以為焦點,長半軸為2的橢圓.它的短半軸,

          故曲線C的方程為.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

          (Ⅱ)設,其坐標滿足

          消去y并整理得,

          故.??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

          若,即.

          而,

          于是,

          化簡得,所以.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

          (Ⅲ)

                           

                            

                            .

          因為A在第一象限,故.由知,從而.又,

          故,

          即在題設條件下,恒有.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

           

          試題詳情

          21.在數(shù)列中,,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列.

          ⑴求及,由此猜測的通項公式,并證明你的結論;

          ⑵證明:.

          說明:本小題主要考查等差數(shù)列,等比數(shù)列,數(shù)學歸納法,不等式等基礎知識,考查綜合運用數(shù)學知識進行歸納、總結、推理、論證等能力.滿分12分.

          解析:

          (Ⅰ)由條件得

          由此可得

          .???????????????????????????????????????????????? 2分

          猜測.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

          用數(shù)學歸納法證明:

          ①當n=1時,由上可得結論成立.

          ②假設當n=k時,結論成立,即

          ,

          那么當n=k+1時,

          所以當n=k+1時,結論也成立.

          由①②,可知對一切正整數(shù)都成立.?????????????????????????????????????? 7分

          (Ⅱ).

          n≥2時,由(Ⅰ)知.?????????????????????????????????????????? 9分

          綜上,原不等式成立. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

           

          試題詳情

          22.設函數(shù).

          ⑴求的單調(diào)區(qū)間和極值;

          ⑵是否存在實數(shù),使得關于的不等式的解集為?若存在,求的取值范圍;若不存在,試說明理由.

          說明:本小題主要考查函數(shù)的導數(shù),單調(diào)性,極值,不等式等基礎知識,考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力.滿分14分.

          解析:(Ⅰ).????????????????????????????????? 2分

          故當時,,

          時,.

          所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.?????????????????????????????????????????????????????? 4分

          由此知在的極大值為,沒有極小值.????????????????????????????????????? 6分

          (Ⅱ)(?)當時,

          由于,

          故關于的不等式的解集為.???????????????????????????????????????????????????????? 10分

          (?)當時,由知,其中為正整數(shù),且有

          .??????????????????????????????????????????????? 12分

          又時,.

          且.

          取整數(shù)滿足,,且,

          則,

          即當時,關于的不等式的解集不是.

          綜合(?)(?)知,存在,使得關于的不等式的解集為,且的取值范圍為.     14分

           

          試題詳情


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