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西安中學(xué)

師大附中

高2008屆第一次模擬考試

高新一中

長(zhǎng)安一中

數(shù)學(xué)（理）試題

命題人：師大附中 孫永濤

審題人：師大附中 李  濤

注意事項(xiàng)：  

1．  本試題卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，總分150分，考試時(shí)間150分鐘。

2．  答題前，考生須將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、學(xué)號(hào)填寫(xiě)在本試題卷指定的位置上。

3．  選擇題的每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上。

4．  非選擇題必須按照題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答。超出答題區(qū)域或在其他題的答題區(qū)域內(nèi)書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、本試題卷上答題無(wú)效。

5．  考試結(jié)束，將本試題卷和答題卡一并交回。

第Ⅰ卷

一.選擇題（本試卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）

1.已知復(fù)數(shù)滿足，則等于(    )

A.        B.        C.         D.

2.已知，下列不等式中成立的是(    )

A.          B.         C.           D.

3.下列函數(shù)中，周期是1且是奇函數(shù)的是 (    )

A.                  B.

C.                      D.

4.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，那么等于(    )

A.28                B.32               C.35               D.49

5.已知是兩條不重合的直線，是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下面四個(gè)命題

①若，則；②若，則；③若，，則；④若是異面直線，，，則。其中真命題的編號(hào)是(    )

A.①②             B.①③            C.③④            D.①④

6.設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，若，則的值是(    )

A.1                B.2               C.3               D.

7.直線與圓相切于點(diǎn)，則的值等于(    )

A.               B.            C.             D.

8.函數(shù)在實(shí)數(shù)上可導(dǎo)，且滿足，則必有(    )

A.                 B.

C.                 D.

9.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有(    )

A.1條            B.2條             C.3條               D.4條

10.點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，則等于 (    )

A.             B.              C.                 D.

11.在某次數(shù)學(xué)模擬測(cè)驗(yàn)中記學(xué)號(hào)是的學(xué)生的成績(jī)是，若，且滿足，則這4位同學(xué)的考試成績(jī)所有的可能有(    )

A.15種          B.20種            C.30種               D.35種

12.已知定義域是的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若，且，則的值（    ）

A.恒小于0      B. 恒大于0         C.可能為0           D.可正可負(fù)

第II卷

二.填空題（每小題4分，滿分16分）

13.設(shè)滿足約束條件：，則的最大值是           .

14.一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距海里.此船的航速是      海里/小時(shí).

15.如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在

平面的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)

到的距離分別為2、3和5，P是正方體

的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是：

①5    ②6    ③7    ④8    ⑤10

以上結(jié)論正確的為_(kāi)_____________（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）. 

16.某中學(xué)為高一學(xué)生開(kāi)設(shè)了攝影、健美、足球、管弦樂(lè)四門(mén)選修課程。統(tǒng)計(jì)學(xué)生的報(bào)名情況，有下列結(jié)果：①報(bào)攝影的同學(xué)沒(méi)有報(bào)健美；②報(bào)健美的同學(xué)也報(bào)了管弦樂(lè)；③報(bào)足球的同學(xué)沒(méi)有報(bào)管弦樂(lè)；④沒(méi)有報(bào)足球的同學(xué)報(bào)了健美。在下面判斷中，正確判斷的編號(hào)是_______（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.

①報(bào)管弦樂(lè)的同學(xué)也報(bào)了攝影；②沒(méi)有報(bào)管弦樂(lè)的同學(xué)報(bào)了攝影；③報(bào)健美的同學(xué)人數(shù)與報(bào)管弦樂(lè)的同學(xué)人數(shù)相等；④沒(méi)有任何同學(xué)，同時(shí)報(bào)了足球和健美；⑤報(bào)了攝影的同學(xué)也報(bào)了足球.

三.解答題（滿分74分）

17.（12分） 已知（為常數(shù)）.

（Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若在上的最大值與最小值之和為3，求的值.

18.（12分） 在舉辦的奧運(yùn)知識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答比賽中，甲、乙、丙同時(shí)回答一道有關(guān)奧運(yùn)知識(shí)的問(wèn)題，已知甲回答對(duì)這道題目的概率是，甲、丙兩人都回答錯(cuò)的概率是，乙、丙兩人都回答對(duì)的概率是.

    （Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答對(duì)這道題目的概率；

    （Ⅱ）求回答對(duì)這道題目的人數(shù)的隨機(jī)變量的分布列和期望.

19.（12分） 如圖，四邊形是直角梯形，，，，，又，，，直線與直線所成的角為.

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值.

20.（12分）橢圓的離心率，是橢圓上關(guān)于軸均不對(duì)稱的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn).

（Ⅰ）設(shè)的中點(diǎn)為，求的值；

（Ⅱ）若是橢圓的右焦點(diǎn)，且，

求橢圓的方程.

21.（12分）已知數(shù)列滿足

（I） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）證明：.

21.（14分）已知函數(shù),

（Ⅰ）求的值域；

（Ⅱ）設(shè)為方程的根，求證：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅲ）若方程有4個(gè)不同的根，求的取值范圍.

高2008屆四校聯(lián)考第一次�？�

一.選擇題（每小題5分，滿分60分）

DBDAD     BACCA  D A

二.填空題（每小題4分，滿分16分）

13.3   14.32     15.①③④⑤       16.③④⑤

三.解答題（滿分74分）

17．(12分)  解：（Ⅰ）

，則，

即的單調(diào)遞增區(qū)間是…………………………6分

（Ⅱ），那么

即，所以………………………………12分

18．（12分）（Ⅰ）設(shè)乙、丙各自回答對(duì)的概率分別是，根據(jù)題意得：

，解得，…………………………………………6分

（Ⅱ）可能取值0，1，2，3，分布列如下：

0

1

2

3

   ………………………………………12分

19. （12分）

（Ⅰ）∵

∴平面

又∵平面

∴平面平面………………4分

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，則，連結(jié)，

∵，且∴四邊形是平行四邊形,

∴，從而

作，交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)，則由三垂線定理知，，

從而為二面角的平面角

直線與直線所成的角為   ∴

在中，由余弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小為………………………………12分

20．（ 12分）

解：（Ⅰ）設(shè)，，代入橢圓方程得，，兩式相減整理得：，由于，；根據(jù)得，所以，即，則………………6分

（Ⅱ）

由于，那么，那么，所以

，，故所求橢圓的方程是………………12分

21. (滿分12分) （I）解：由得,是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。即　   ………………4分

II證明：∵ ，∴

又∵

       ∴

       ∴                ………………12分

22.（14分）

（Ⅰ），則，由于，則值域是…………………………………………………………………………………2分

（Ⅱ）是方程，那么，令，則，那么是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即

所以當(dāng)時(shí)，……………………………………………………………8分

（Ⅲ）令

當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以有四個(gè)不同的根時(shí)，所以.…………………………14分