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練習(xí)冊(cè)

練習(xí)冊(cè)
試題

安徽省泗縣一中2009年高三模擬試題（四月）數(shù)學(xué)（文）

本試卷分第I卷和第II卷兩部分。

考試時(shí)間為120分鐘，滿分為150分。

參考公式：

三棱錐的體積公式，其中表示三棱錐的底面面積，表示三棱錐的高。

第Ⅰ卷（選擇題共50分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．已知集合，，則=

A． B． C． D．

2．已知命題

A． B．

C． D．

3．向量=（1，-2），=（6，3），則與的夾角為

A． B． C． D．

4．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c, 已知A=, a=, b=1，則c=

A．1 B．2 C．―1 D．

5．已知兩條直線，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題：

① ②

③ ④

其中正確命題的序號(hào)是

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

6．函數(shù)的部分圖象如圖，則

A．＝，＝ B．＝,＝

C．＝,＝ D．＝,＝

7. 如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角

三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的表面積為

A． B．

C． D．

8. 已知點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₁且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF₂為正三角形，則該橢圓的離心率是

A． B. C. D.

9. 對(duì)于實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如定義函數(shù)

則下列命題中正確的是

A． B．方程有且僅有一個(gè)解

C．函數(shù)是周期函數(shù) D．函數(shù)是增函數(shù)

10．如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)。連線標(biāo)注的數(shù)字

表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量。現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)向結(jié)點(diǎn)傳遞信息，信息可

以分開(kāi)沿不同的路線同時(shí)傳遞。則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為

A．26 B．24

C．20 D．19

第Ⅱ卷（非選擇題共100分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

11．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若．

12．如圖，在直四棱柱A₁B₁C₁D₁―ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?i>ABCD滿足條件

時(shí)，有A₁C⊥B₁D₁．

（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）

13．直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則

的最小值為．

14．某公司有60萬(wàn)元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)

目乙投資的倍，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬(wàn)元，對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬(wàn)元可獲得0.4

萬(wàn)元的利潤(rùn)，對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬(wàn)元可獲得0.6萬(wàn)元的利潤(rùn)，該公司正確規(guī)劃投資后，在兩

個(gè)項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤(rùn)為萬(wàn)元．

三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

15．（本小題滿分12分）

已知向量 ,函數(shù)

（1）求的最小正周期;

（2）當(dāng)時(shí), 若求的值．

16．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，常數(shù)

（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．

17．（本小題滿分14分）

如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，點(diǎn)E、F

分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．

（1）求證：AF∥平面PCE；

（2）求證：平面PCE⊥平面PCD；

（3）求三棱錐C－BEP的體積．

18．（本小題滿分14分）

設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，且

構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和．

19．（本小題滿分14分）

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切.

（1）求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；

（2）是否存在直線，使過(guò)點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足

？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

20．（本小題滿分14分）

已知，且三次方程有三個(gè)實(shí)根．

（1）類(lèi)比一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，寫(xiě)出此方程根與系數(shù)的關(guān)系；

（2）若，在處取得極值且，試

求此方程三個(gè)根兩兩不等時(shí)的取值范圍．

一、選擇題（每小題5分，共50分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

B

B

C

C

A

D

C

D

二、填空題（每小題5分，共20分）

11. 8 ； 12. AC⊥BD （ ABCD是正方形或菱形）；

13. ； 14. ；

三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

15.（本小題滿分12分）

解：（1） …………………………1分

………………………………2分

. ………………………………………4分

的最小正周期是. …………………………………6分

（2）由得 …………………….8分

∵，∴　∴ …………10分

∴ ………………………………………………12分

16.（本小題滿分12分）

解：（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意

為偶函數(shù) ……………………3分

當(dāng)時(shí)，

取，得

函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)……6分

（2）解法一：要使函數(shù)在上為增函數(shù)等價(jià)于在上恒成立 ……………8分

即在上恒成立，故在上恒成立

∴ …………………………………10分

∴ 的取值范圍是 ………………………………12分

解法二：設(shè)

………8分

要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立

，即恒成立 …………………………………10分

又，

的取值范圍是 ………………………………12分

17.（本小題滿分14分）

證明: （1）取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG

∴FG為△CDP的中位線 ∴FGCD……1分

∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)

∴ABCD ∴FGAE

∴四邊形AEGF是平行四邊形 ………………2分

∴AF∥EG ………3分

又EG平面PCE，AF平面PCE ………4分

∴AF∥平面PCE ………………………………………5分

（2）∵ PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A

∴CD⊥平面ADP

又AF平面ADP ∴CD⊥AF ……………………………… 6分

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD為等腰直角三角形 ∴PA＝AD=2 ………………………… 7分

∵F是PD的中點(diǎn)

∴AF⊥PD，又CDPD=D

∴AF⊥平面PCD ……………………………… 8分

∵AF∥EG

∴EG⊥平面PCD …………………………… 9分

又EG平面PCE

平面PCE⊥平面PCD …………………………… 10分

（3）三棱錐C－BEP即為三棱錐P－BCE ……………………………11分

PA是三棱錐P－BCE的高，

Rt△BCE中，BE=1，BC=2，

∴三棱錐C－BEP的體積

V_C_－BEP=V_P_－BCE= … 14分

18.（本小題滿分14分）

解：（1）由已知得解得．…………………1分

設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得．

又，可知，即， …………………4分

解得．

由題意得．．………………………………………… 6分

故數(shù)列的通項(xiàng)為． … ……………………………………8分

（2）由于由（1）得

= ………………………………………10分

又

是首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列 ……………12分

…………………………14分

19．（本小題滿分14分）

解：（1）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知： ……………………………………2分

即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，

由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，

為準(zhǔn)線，

∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ……………………………………5分

（2）由題可設(shè)直線的方程為

由得

△， ………………………………………………7分

設(shè)，，則， ………………………9分

由，即，，于是，……11分

即，，

，解得或（舍去）， …………………13分

又， ∴ 直線存在，其方程為 ……………14分

20.（本小題滿分14分）

解：（1）由已知，得，比較兩邊系數(shù)，

得． ……………………4分

（2）令，要有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)有

一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，且極大值大于0，極小值小于0． …………5分

由已知，得有兩個(gè)不等的實(shí)根，

，得．……… 6分

又，，將代入（1）（3），有，又

．， ………8分

則，且在處取得極大值，在處取得極小值10分故要有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

則必須 ……………… 12分

解得． ………………… 14分

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