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          姜堰市婁莊中學(xué)2008～2009學(xué)年度第二學(xué)期周周練
          高三數(shù)學(xué)試題
          一、填空題(每小題5分,14小題，共70分，把答案填在答題紙指定的橫線(xiàn)上)
          1．集合　　 ▲      ．
          

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          2．“”是“”的　　▲   　條件．
          

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          3．在△ABC中，若（a＋b＋c）(b＋c－a)＝3bc，則A等于_____▲_______．
          

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          4．已知>0，若平面內(nèi)三點(diǎn)A（1，-），B（2，），C（3，）共線(xiàn)，則=___▲____.
          

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          5．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),若，則=_____▲_______.
          

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          6．設(shè)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F．過(guò)點(diǎn)F平行雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為　　　▲　　　．
          

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          7．已知t為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t=____▲____.
          

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          8．已知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______▲______.
          

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          9．如圖，已知球O點(diǎn)面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，
          

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          ABBC，DA=AB=BC=，則球O點(diǎn)體積等于_____▲______.
          

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          10．定義：區(qū)間的長(zhǎng)度為.已知函數(shù)定義域?yàn)?sub>，值域?yàn)?sub>，則區(qū)間的長(zhǎng)度的最大值為     ▲      . 
          

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          11．在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線(xiàn)段中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)與交于點(diǎn)．若，，則_____▲_____.
          

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          12．設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足：,則數(shù)列的通項(xiàng)公式=     ▲    .
          

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          13．若從點(diǎn)O所作的兩條射線(xiàn)OM、ON上分別有點(diǎn)、與點(diǎn)、，則三角形面積之比為：. 若從點(diǎn)O所作的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線(xiàn)OP、OQ和OR上分別有點(diǎn)、與點(diǎn)、和、，則類(lèi)似的結(jié)論為：__  ▲  
          

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          14．某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線(xiàn)段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線(xiàn)段，則a+b的最大值為_(kāi)_________▲___________.
                                                                                                 
                              
          

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          二、解答題（本大題6小題，共90分）
          15．（本小題滿(mǎn)分14分）已知向量,,。（1）若,求；（2）求的最大值.
           
          

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          16．(本小題滿(mǎn)分14分）某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的一條拋物線(xiàn)（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）.在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面米，入水處距池邊的距離為4米，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤．⑴求這條拋物線(xiàn)的解析式；⑵在某次試跳中，測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)是（Ⅰ）中的拋物線(xiàn)，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為米，問(wèn)此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．
          

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          17．（本小題滿(mǎn)分15分）如圖所示,在直四棱柱中,DB=BC,,點(diǎn)是棱上一點(diǎn)。（1）求證：面；（2）求證：；（3）試確定點(diǎn)的位置,使得平面平面. 
          

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          18．（本小題滿(mǎn)分15分）已知圓O:x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn),曲線(xiàn)C是以AB為長(zhǎng)軸,離心率為的橢圓,其左焦點(diǎn)為F.若P是圓O上一點(diǎn),連結(jié)PF,過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)PF的垂線(xiàn)交橢圓C的左準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)Q.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,1）,求證:直線(xiàn)PQ與圓相切；（3）試探究:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合）,直線(xiàn)PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請(qǐng)證明；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. 
          

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          19．(本小題滿(mǎn)分16分)已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)。⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵設(shè)g(x)為f(x)在區(qū)間上的最小值。（1）寫(xiě)出g(a)的表達(dá)式；（2）求的取值范圍，使得.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

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          20． (本小題滿(mǎn)分16分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為設(shè)集合,(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這些點(diǎn)是否都在同一條直線(xiàn)上? 并說(shuō)明理由;
          

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          (3) “至多只有一個(gè)元素”是否正確? 若正確, 請(qǐng)證明; 若不正確, 請(qǐng)舉例說(shuō)明
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          第Ⅱ卷（附加題 共40分）
          

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          1． (本小題滿(mǎn)分10分) 從極點(diǎn)作直線(xiàn)與另一直線(xiàn)相交于點(diǎn),在上取一點(diǎn),使。（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)為上的任意一點(diǎn),試求的最小值.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

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          2．(本小題滿(mǎn)分10分) 試求曲線(xiàn)在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M =，N =．
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

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          3．(本小題滿(mǎn)分10分)已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且,是的中點(diǎn)．（1）求與所成的角余弦值；（2）求二面角的余弦值．
           
          

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          4.(本小題滿(mǎn)分10分)一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫(xiě)著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，f6(x)=2．（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；（2）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
           
          

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          第Ⅰ卷
          一、填空題:
          1. {1,2,3}; 2.充分非必要;3.; 4.;  5. 8;  6. (歷史) 5049; (物理) ; 7. 1; 8.
          9.;10.; 11.; 12.;13.;14. 4.
          二、解答題：
          15. 解：（1）因?yàn)?sub>,所以…………（3分）
               得 （用輔助角得到同樣給分）              ………（5分）
               又,所以=           ……………………………………（7分）
          （2）因?yàn)?sub>    ………………………（9分）
          =                     …………………………………………（11分）
          所以當(dāng)=時(shí), 的最大值為5＋4=9               …………………（13分）
          故的最大值為3                     ………………………………………（14分）
          16. (選歷史方向) 解: （1）表格為: 
           
          高  個(gè)
          非高個(gè)
          合  計(jì)
          大  腳
          5
          2
          7
          非大腳
          1
           
          13
          合  計(jì)
          6
          14
           
          …… （3分）
          （說(shuō)明:黑框內(nèi)的三個(gè)數(shù)據(jù)每個(gè)1分,黑框外合計(jì)數(shù)據(jù)有錯(cuò)誤的暫不扣分）
          （2）提出假設(shè)H0: 人的腳的大小與身高之間沒(méi)有關(guān)系. …………………………… （4分）
          根據(jù)上述列聯(lián)表可以求得.…………………… （7分）
          當(dāng)H0成立時(shí),的概率約為0.005,而這里8.802>7.879,
          所以我們有99.5%的把握認(rèn)為: 人的腳的大小與身高之間有關(guān)系. ……………… （8分）
          （3）
①抽到12號(hào)的概率為………………………………… （11分）
          ②抽到“無(wú)效序號(hào)（超過(guò)20號(hào)）”的概率為…………………… （14分）
          (選物理方向) 解：（Ⅰ）在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)為B，
          拋物線(xiàn)的解析式為． …………………………… 2′
          由題意，知O（0，0），B（2，－10），且頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為．……………   4′
          或        ……………………………
8′
          ∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，∴,又∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，∴a＜0,
          從而b＞0,故有       ……………………………9′           

          ∴拋物線(xiàn)的解析式為.   ……………………………10′
          （Ⅱ）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為米時(shí)，
          即時(shí)，， ……………………………12′
          ∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為10－＝＜5，因此，此次跳水會(huì)失誤.………………14′
          17. （1）證明：由直四棱柱,得,
          所以是平行四邊形,所以         …………………（3分）
          而,,所以面  ………（4分）
          （2）證明：因?yàn)?sub>, 所以       ……（6分）
          又因?yàn)?sub>,且，所以    ………
……（8分）
          而，所以               …………………………（9分）
          （3）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí),平面平面…………………（10分）
          取DC的中點(diǎn)N,,連結(jié)交于,連結(jié).
          因?yàn)镹是DC中點(diǎn),BD=BC,所以；又因?yàn)镈C是面ABCD與面的交線(xiàn),而面ABCD⊥面,
          所以……………（12分）
          又可證得,是的中點(diǎn),所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四邊形,所以BN∥OM,所以O(shè)M平面,
          因?yàn)镺M?面DMC1,所以平面平面………………………（14分）
          18. 解：（1）因?yàn)?sub>,所以c=1……………………（2分）
           則b=1,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………………………（4分）
          （2）因?yàn)?sub>（1,1）,所以,所以,所以直線(xiàn)OQ的方程為y=－2x（6分）
          又橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=－2,所以點(diǎn)Q（－2,4） …………………………（7分）
          所以,又,所以,即,
          故直線(xiàn)與圓相切……………………………………………………（9分）
          （3）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線(xiàn)與圓保持相切              ………（10分）
          證明:設(shè)（）,則,所以,,
          所以直線(xiàn)OQ的方程為                     ……………（12分）
          所以點(diǎn)Q（－2,）                                    ………………
（13分）
          所以,
          又,所以,即,故直線(xiàn)始終與圓相切……（15分）
          19.⑴解：函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，（）…… （2分）
          若，則，有單調(diào)遞增區(qū)間． ……………… （3分）
          若，令，得，       
          當(dāng)時(shí)，，
          當(dāng)時(shí)，．  ……………… （5分）
          有單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間．   ……………… （6分）
          ⑵解:(i)若，在上單調(diào)遞增，所以．     ……… （7分）
          若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
          所以．     ………………
（9分）
          若，在上單調(diào)遞減，所以．………… （10分）
          綜上所述，    ……………… （12分）
          （ii）令．若，無(wú)解．      ………………
（13分）
          若，解得． ……………… （14分）
          若，解得．       ………………
（15分）
          故的取值范圍為．    ……………… （16分）
          20. (1)數(shù)表中第行的數(shù)依次所組成數(shù)列的通項(xiàng)為，則由題意可得
          … （2分）
           (其中為第行數(shù)所組成的數(shù)列的公差)        
(4分)
          (2)
          第一行的數(shù)依次成等差數(shù)列，由(1)知，第2行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，依次類(lèi)推，可知數(shù)表中任一行的數(shù)(不少于3個(gè))都依次成等差數(shù)列.     ……………… （5分）
          設(shè)第行的數(shù)公差為,則，則…………… （6分）
          所以
                                                    
(10 分)
          (3)由，可得
          所以=   ……………… （11分）
          令,則,所以  ………… （13分）
          要使得，即，只要=，
          ，，所以只要,
          即只要,所以可以令
          則當(dāng)時(shí)，都有.
          所以適合題設(shè)的一個(gè)函數(shù)為                  
(16分)
          第Ⅱ卷（附加題 共40分）
          1. （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,M的坐標(biāo)為,
          則即為所求的軌跡方程.  …………（6分）
          （2）由（1）知P的軌跡是以（）為圓心，半徑為的圓，易得RP的最小值為1
          .……（10分）
          2. ，|x－a|＜l，
          ，      
…………………………………………………5分
          = ………………………10分
          3. 證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為
          ．
          （1）解：因
          所以，與所成的角余弦值為    
…………………………………5分
          （2）解：在上取一點(diǎn)，則存在使
          要使
          為
          所求二面角的平面角．
           
          …………………………………10分
          另解：可以計(jì)算兩個(gè)平面的法向量分別為：平面ＡＭＣ的法向量，平面ＢＭＣ的法向量為，=，　所求二面角的余弦值為－．
          4. （1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知              
………………………………4分
          （2）ξ可取1，2，3，4．
          ，
           ；………………8分
           故ξ的分布列為
          ξ
          1
          2
          3
          4
          P
                                                                       

           
          答：ξ的數(shù)學(xué)期望為                        ………………………………10分
           
          
				
          
	
          
		
          


          同步練習(xí)冊(cè)答案