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          專題14
直線 圓錐曲線 平面向量
          一 能力培養(yǎng)
          1,函數(shù)與方程思想  
2,數(shù)形結(jié)合思想   3,分類討論思想   4,轉(zhuǎn)化能力 5,運(yùn)算能力
          二 問題探討
          問題1設(shè)坐標(biāo)原點為O,拋物線與過焦點的直線交于A,B兩點,求的值.
           
           
           
           
          問題2已知直線L與橢圓交于P,Q不同兩點,記OP,OQ的斜率分別為
          ,,如果,求PQ連線的中點M的軌跡方程.
           
           
           
           
          問題3給定拋物線C:,F是C的焦點,過點F的直線與C相交于A,B兩點.
          (I)設(shè)的斜率為1,求與夾角的大小;
          (II)設(shè),若,求在軸上截距的變化范圍.
           
           
           
           
           
          問題4求同時滿足下列三個條件的曲線C的方程:
          ①是橢圓或雙曲線;        
②原點O和直線分別為焦點及相應(yīng)準(zhǔn)線;
          ③被直線垂直平分的弦AB的長為.
           
           
           
           
           
           
           
           
          三 習(xí)題探
          選擇題
          1已知橢圓的離心率,則實數(shù)的值為
          A,3           B,3或          
C,          
D,或
          2一動圓與兩圓和都外切,則動圓圓心的軌跡為
          A,圓         
B,橢圓         
C,雙曲線的一支        
D,拋物線
          3已知雙曲線的頂點為與(2,5),它的一條漸近線與直線平行,則雙曲
          線的準(zhǔn)線方程是
          A,        B,        C,        D,
          4拋物線上的點P到直線有最短的距離,則P的坐標(biāo)是
          A,(0,0)             
B,          
C,           
D,
          5已知點F,直線:,點B是上的動點.若過B垂直于軸的直線與線段
          BF的垂直平分線交于點M,則點M的軌跡是
          A,雙曲線           
B,橢圓            
C,圓              
D,拋物線
          填空題
          6橢圓上的一點到左焦點的最大距離為8,到右準(zhǔn)線的最小距離
          為,則此橢圓的方程為                          
.
          7與方程的圖形關(guān)于對稱的圖形的方程是                        
.
          8設(shè)P是拋物線上的動點,點A的坐標(biāo)為,點M在直線PA上,
          且分所成的比為2:1,則點M的軌跡方程是                             
.
          9設(shè)橢圓與雙曲線有共同的焦點,且橢圓長軸是雙曲線實軸的2倍,
           則橢圓與雙曲線的交點軌跡是                      
.
          解答題
          10已知點H,點P在軸上,點Q在軸的正半軸上,點M在直線PQ上,
          且滿足,.
          (I)當(dāng)點P在軸上移動時,求點M的軌跡C;
          (II)過點T作直線與軌跡C交于A,B兩點,若在軸上存在一點E,
          使得是等邊三角形,求的值.
           
           
           
           
           
           
          11已知雙曲線C:,點B,F分別是雙曲線C的右頂點和右焦點,
          O為坐標(biāo)原點.點A在軸正半軸上,且滿足成等比數(shù)列,過點F作雙曲
          線C在第一,第三象限的漸近線的垂線,垂足為P.
          (I)求證:;        
(II)設(shè),直線與雙曲線C的左,右兩分
          支分別相交于點D,E,求的值.
           
           
           
           
           
           
           
          12已知雙曲線的兩個焦點分別為,,其中又是拋物線的焦點,點A,
           B在雙曲線上.
          (I)求點的軌跡方程;           
(II)是否存在直線與點的軌跡有且只
          有兩個公共點?若存在,求實數(shù)的值,若不存在,請說明理由.
           
           
           
           
           
           
           
           
          問題1解:(1)當(dāng)直線AB軸時,在中,令,有,則
          ,得.
          (2)當(dāng)直線AB與軸不互相垂直時,設(shè)AB的方程為:
          由,消去,整理得,顯然.
          設(shè),則,得
          =+=+
                  =
                  ==.
          綜(1),(2)所述,有.
          問題2解:設(shè)點P,Q,M的坐標(biāo)分別為,
          


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              x
              , ③  ④
              ①+②得
              即,將③,④代入得,
              于是點M的軌跡方程為.
              問題3解:(I)C的焦點為F(1,0),直線的斜率為1,所以的方程為,
              把它代入,整理得
              設(shè)A,B則有.
              +1=.
              ,
              所以與夾角的大小為.
              (II)由題設(shè)得,即.
              得,又,有,可解得,由題意知,
              得B或,又F(1,0),得直線的方程為
              或,
              當(dāng)時,在軸上的截距為或,由,可知
              在[4,9]上是遞減的,于是,,
              所以直線在軸上的截距為[].
              問題4解:設(shè)M為曲線C上任一點,曲線C的離心率為,由條件①,②得
              ,化簡得:    
(i)
              設(shè)弦AB所在的直線方程為                  
(ii)
              (ii)代入(i)整理后得:  (iii),
              可知不合題意,有,
              設(shè)弦AB的端點坐標(biāo)為A,B,AB的中點P.則,是方程(iii)的兩根.
              ,
              ,,又中點P在直線上,
              有+=0,解得,即AB的方程為,方程(iii)為
              ,它的,得.
              ,
              由,得
              即,得,將它代入(i)得.
              所求的曲線C的方程為雙曲線方程:.
              1焦點在軸得;焦點在軸得,選B.
              2設(shè)圓心O(0,0),,為動圓的圓心,則,選C.
              3知雙曲線的中心為(2,2),由變形得,于是所求雙曲線方程為
              ,它的準(zhǔn)線為,即,選A.
              4設(shè)直線與相切,聯(lián)立整理得,
              由,得,這時得切點(,1),選B.
              5由知點M的軌跡是拋物線,選D.
              6可得,消去,整理得,有或(舍去),得,
              ,所以所求的橢圓方程為.
              7設(shè)點P是所求曲線上任一點,它關(guān)于對稱的點在上,
              有,即.
              8設(shè)點P,M,有,,得,
              而,于是得點M的軌跡方程是.
              9由條件可得或,設(shè)P代入可知交點的軌跡是兩個圓.
              10解:(I) 設(shè)點M,由,得P
              由,得所以.又點Q在軸的正半軸上,得.
              所以,動點M的軌跡C是以(0,0)為頂點,以(1,0)為焦點的拋物線,除去原點.
              (II)設(shè)直線:,其中,代入,整理得 ①
              設(shè)A,B,,
              =,有AB的中點為,
              AB的垂直平分線方程為,令,,有E
              由為正三角形,E到直線AB的距離為,知.
              由,解得,所以.
              11(I)證明:直線的方程為:
              由,得P,又成等差數(shù)列,
              得A(,0),有,
              于是,,因此.
              (II)由,得,:
              由,消去,整理得    
①
              設(shè)D,E,由已知有,且,是方程①的兩個根.
              ,,,解得或.
              又,得=,因此.
              12解:(I),,設(shè)則
              ,去掉絕對值號有兩種情況,分別得的軌跡
              方程為和()
              (II)直線:,:,D(1,4),橢圓Q:
              ①若過點或D,由,D兩點既在直線上,又在橢圓Q上,但不在的軌跡上,
              知與的軌跡只有一個公共點,不合題意.
              ②若不過,D兩點().則與必有一個公共點E,且點E不在橢圓Q上,
              所以要使與的軌跡有且只有兩個公共點,必須使與Q有且只有一個公共點,
              把代入橢圓的方程并整理得
              由,得.
               
               
              
				
	



              
	



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